[논문 리뷰] Padé-type Approximations to the Resolvent of Fractional Powers of Operators

Lidia Aceto, Paolo Novati|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 01.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 19인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 오차를 최소화하기 위해 이동 파arameter τ를 최적화하는 방식으로, 분수계수 연산자의 해를구하는 데에 대해 새로운 패드 유형의 유리함수 근사법을 제안한다. 특히 (I + hL^α)^{-1}에 대해, 초함수 표현과 가우스-야코비 정적분을 활용하여 오차 추정을 도출하며, 무한차원에서는 O(k^{-4α}) 수렴성을 확보하고 유한차원에서는 선형 수렴 rk (0 < r < 1) 를 달성한다. 이는 분수계수 확산 문제의 효율적 해법을 위한 유리함수 크릴로프 방법에 적용된다.

ABSTRACT

We study a reliable pole selection for the rational approximation of the resolvent of fractional powers of operators in both the finite and infinite dimensional setting. The analysis exploits the representation in terms of hypergeometric functions of the error of the Padé approximation of the fractional power. We provide quantitatively accurate error estimates that can be used fruitfully for practical computations. We present some numerical examples to corroborate the theoretical results. The behavior of rational Krylov methods based on this theory is also presented.

연구 동기 및 목표

• 자기수반 양의 연산자에 대한 분수계수의 해를 (I + hL^α)^{-1}로 신뢰할 수 있는 유리함수 근사법을 개발하기 위해.
• 패드 유형 근사에서 이동 파arameter τ를 최적 선택하여 근사 오차를 최소화하기 위해.
• 실제 계산에서 연산자 역행의 횟수 k를 사전에 결정하기 위해 정량적으로 정확한 오차 추정을 제공하기 위해.
• 유한차원 설정으로 이론을 확장하여 가장 큰 고유값이 알려진 경우 선형 수렴 속도를 달성하기 위해.
• 사전 오차 제어가 가능한 효율적인 유리함수 크릴로프 방법을 (I + hL^α_N)^{-1}v 해법을 위해 구성하기 위해.

제안 방법

• [−1,1]에서 가중치 (1−t)^{-α}(1+t)^{α−1}를 가진 가우스-야코비 정적분을 사용하여 λ^{-α}에 대한 패드 유형 근사 R_{k-1,k}(λ/τ)를 유도하기 위해.
• λ^{-α}의 유리함수 근사로부터 해를구하는 근사 S_{k-1,k}(λ) = pk−1(λ)/(pk−1(λ) + h qk(λ))를 정의하기 위해.
• 오차를 최소화하기 위해 이동 파arameter τ를 min_{τ>0} max_{λ∈[c,∞)} |(1 + hλ^α)^{-1} − S_{k-1,k}(λ)| 를 풀어, k와 h에 따라 변화하는 근사 해 τk를 도출하기 위해.
• 패드 근사 오차의 초함수 표현을 이용하여 오차 추정을 수립하고, 무한차원의 경우 O(k^{-4α}) 감쇠를 도출하기 위해.
• 유한차원 문제에서는 가장 큰 고유값 λN를 기반으로 한 개선된 파arameter 수열 {τk,N}을 도입하여 0 < r < 1 인 선형 수렴 rk 를 달성하기 위해.
• S_{k-1,k}(λ)의 극점을 이용하여 (I + hL^α_N)^{-1}v 를 위한 유리함수 크릴로프 방법을 구성하고, 오차 추정을 사전에 Krylov 부분공간의 차원을 결정하는 데 활용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 패드 유형 근사에서 이동 파arameter τ를 어떻게 최적화하여 (I + hL^α)^{-1} 근사의 오차를 최소화할 수 있는가?
• RQ2 무한대 및 유한차원 설정에서 유도된 유리함수 근사의 해를 위한 이론적 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 유도된 오차 추정은 실질 계산에서 연산자 역행 횟수 k를 사전에 선택하는 데 효과적으로 사용될 수 있는가?
• RQ4 유리함수 근사의 극점은 분수계수 확산 문제를 해결하기 위한 유리함수 크릴로프 방법의 구성과 수렴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 해를 근사할 때 h에 의존하는 τ와 h에 무관한 τ 중 어느 것이 더 유리한가?

주요 결과

• 제안된 방법은 무한차원 설정에서 오차 감쇠 O(k^{-4α}) 를 달성하여 이전 방법보다 크게 향상된다.
• 유한차원 설정에서는 가장 큰 고유값 λN 를 기반으로 한 τk,N 를 사용함으로써 0 < r < 1 인 선형 수렴 rk 를 달성하여 더 빠르고 예측 가능한 수렴이 가능해진다.
• 초함수 표현을 통한 오차 추정은 정량적으로 정확하며, 필요한 극점 수 k를 사전에 결정하는 데 적합하다.
• 수치 실험은 h에 의존하는 τk 를 사용할 경우, L^{-α} 근사에서 얻은 τk 를 (1.1)을 통해 변환한 경우보다 더 뛰어난 근사 품질을 제공함을 확인한다.
• S_{k-1,k}(λ)의 극점은 사전 오차 제어가 가능한 유리함수 크릴로프 방법을 정의하는 데 사용될 수 있으며, 이는 표준 시프트-인버트 크릴로프 방법(SIKM)보다 성능이 뛰어나다.
• 다른 접근법으로 (k,k)-패드 근사나 해를 1/(1 + hλ^{α−1})로 재구성하는 것은 이론과 실험 모두에서 덜 효과적이거나 거의 동일한 성능을 보이며, 따라서 유리하지 않다.