[논문 리뷰] Pair correlation of sequences $(\lbrace a_n \alpha brace)_{n \in \mathbb{N}}$ with maximal order of additive energy

Gerhard Larcher, Wolfgang Stockinger|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 07.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 최대 가법 에너지를 가진 서로 다른 양의 정수 수열 $(a_n)$에 대해, 모든 무리수 $\alpha$에 대해 수열 $\{a_n \alpha\}$가 파oissonian 쌍 상관을 보이지 않는다는 것을 증명한다. 이 결과는 Bourgain의 이전 작업을 보완하여, 거의 모든 $\alpha$가 아니라 모든 $\alpha$에 대해 파oissonian 쌍 상관이 없음을 보이며, Balog–Szemerédi–Gowers 정리와 Freiman 정리를 활용한 구조적 분석을 통해 높은 가법 에너지가 준산술적 구조와 연결됨을 밝힌다.

ABSTRACT

We show for sequences $\left(a_{n} ight)_{n \in \mathbb{N}}$ of distinct positive integers with maximal order of additive energy, that the sequence $\left(\left\{a_{n} \alpha ight\} ight)_{n \in \mathbb{N}}$ does not have Poissonian pair correlations for any $\alpha$. This result essentially sharpens a result obtained by J. Bourgain on this topic.

연구 동기 및 목표

• 고가의 가법 에너지를 가진 수열에 대한 Bourgain의 파oissonian 쌍 상관 결과의 날카로움을 해결하기 위해.
• 가수 $E(A_N) = \Omega(N^3)$를 만족하는 수열에 대해, $\{a_n\alpha\}$가 거의 모든 $\alpha$가 아니라 모든 $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ 에서 파oissonian 쌍 상관을 가지지 않음을 보여주기 위해.
• 이러한 수열이 어떤 유한 차수 $d$의 준산술적 구조를 띠며, 가법 에너지와 등차수열 구조를 연결하는 구조적 특성화를 수립하기 위해.
• 쌍 상관이 거의 모든 $\alpha$에 대해 파oissonian이 아니면 모든 $\alpha$에 대해서도 파oissonian이 아니라는 추측을 최대 에너지 경우에서 증명함으로써 확인하기 위해.

제안 방법

• 가수 $E(A_N)$를 $a+b = c+d$ 를 만족하는 사중조 $(a,b,c,d) \in A_N^4$ 의 수로 정의하고, 이를 통해 수열의 가법 구조를 분류한다.
• Balog–Szemerédi–Gowers 정리를 사용하여 $E(A_N) = \Omega(N^3)$ 이면, $|A_0^{(i)} + A_0^{(i)}| \leq C|A_0^{(i)}|$ 를 만족하는 큰 부분집합 $A_0^{(i)} \subset \{a_n\}_{n \leq N_i}$ 가 존재함을 보인다.
• Freiman 정리를 적용하여 이러한 부분집합이 크기가 $O(N_i)$ 인 $d$차원 등차수열에 포함됨을 보이며, 이로써 수열이 차수 $d$의 준산술적 구조를 띠게 됨을 분류한다.
• 등차수열의 구조를 활용해 인덱스 벡터의 차이 $r_k - r_l$ 를 분석하고, 많은 차이가 동일한 벡터 $u$ 를 유도함을 보인다.
• 성질 1 수립: 적어도 $\gamma N$ 개의 서로 다른 차이 벡터 $u$ 가 최소 $\gamma N$ 번의 빈도로 나타나며, 여기서 $\gamma = C^2 / (1 + 2^d)$.
• 구멍 메우기 원리(성질 2)를 사용하여, 어떤 $\beta \in [0,1)$ 에 대해 적어도 $L = 2/\gamma$ 개의 $\{u \cdot \mathbf{k} \alpha\}$ 가 길이 $L/(\gamma N)$ 인 간격 안에 존재함을 보이며, 분수부의 군집 현상을 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고가의 가법 에너지를 가진 수열에서 거의 모든 $\alpha$에 대해 파oissonian 쌍 상관이 없음을 보이는 것이 모든 $\alpha$로 확장되는가?
• RQ2 최대 가법 에너지 $E(A_N) = \Omega(N^3)$ 를 가진 수열은 구조적으로 특성화될 수 있으며, 이러한 특성화가 비파oissonian 쌍 상관을 유도하는가?
• RQ3 가수 $E(A_N) = \Omega(N^3)$ 인 경우, $\{a_n \alpha\}$ 가 모든 무리수 $\alpha$ 에 대해 파oissonian 쌍 상관을 가지지 않음을 증명할 수 있는가? 이는 Bourgain 결과의 간극을 메우는 데 기여한다.
• RQ4 쌍 상관이 거의 모든 $\alpha$에 대해 파oissonian이 아니면 모든 $\alpha$에 대해서도 파oissonian이 아니라는 추측을 최대 에너지 경우에서 검증할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 서로 다른 양의 정수 수열 $(a_n)$ 에 대해 $E(A_N) = \Omega(N^3)$ 를 만족하면, 모든 무리수 $\alpha$ 에 대해 수열 $\{a_n \alpha\}$ 는 파oissonian 쌍 상관을 가지지 않는다.
• $E(A_N) = \Omega(N^3)$ 조건은 수열이 어떤 유한 차수 $d$ 의 준산술적 구조를 띠는 것과 동치이며, 이는 첫 $N_i$ 항 중 일부 비율이 크기가 $O(N_i)$ 인 $d$차원 등차수열에 포함됨을 의미한다.
• 각 such 수열에 대해, $k \neq l$ 인 쌍 $(k,l)$ 가 적어도 $\tau N_i$ 개 존재하여 $\|\{a_k \alpha\} - \{a_l \alpha\}\| \leq \psi / N_i$ 를 만족한다. 여기서 $\tau = C^4 / (4(1 + 2^d)^2)$ 이고, $\psi$ 는 $d$ 와 $C$ 에만 의존한다. 이는 강한 군집 현상을 의미한다.
• $\psi_i < \rho$ 인 $i$ 가 무한히 많다면, $s = \rho$ 에서 쌍 상관 함수가 $3\rho$ 를 초과하여 파oissonian 행동을 위반한다.
• $\psi_i \geq \rho$ 인 $i$ 가 무한히 많다면, $s_2 - s_1 = \tau/3$ 인 간격 $[s_1, s_2]$ 에서 쌍 상관 수의 차이가 $\tau$ 를 초과하며, 이는 파oissonian 극한 조건인 $2(s_2 - s_1) < \tau$ 와 모순되므로 비파oissonian 행동임을 증명한다.