[논문 리뷰] Pairings in Hopf-cyclic cohomology of algebras and coalgebras with coefficients

Igor Nikonov, G. Sharygin|ArXiv.org|2006. 10. 20.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 안정적인 반-예터-드리프딘 모듈러에 대한 대수와 코알제브라의 호프-사이클릭 코hom로지에서 컵곱의 통합 프레임워크를 수립한다. 비가환 웨일 대수를 통한 쌍대화를 구축하고, 여기서 정의된 컵곱이 크레인릭 형식의 쌍대화와 [15]의 구성과 일치함을 증명하며, 특히 S-작용과 주기성과의 호환성을 보여주는 핵심 항등식을 제시한다.

ABSTRACT

This paper is concerned with the theory of cup-products in Hopf-type cyclic cohomology of algebras and coalgebras. Here we give detailed proofs of the statements, announced in our previous paper. We show that the cyclic cohomology of a coalgebra can be obtained from a construction involving noncommutative Weil algebra. Then we use a generalization of Quillen and Crainic's construction to define the cup-product. We discuss the relation of the introduced cup-product and $S$-operations on cyclic cohomology. After this we describe the relation of this type of product and bivariant cyclic cohomology. In the last section we briefly discuss the relation of our constructions with that of Khalkhali and Rangipour.

연구 동기 및 목표

• 안정적인 반-예터-드리프딘 모듈러에 대한 대수와 코알제브라의 호프-사이클릭 코hom로지에서 컵곱의 종합적 구성 제공
• 코알제브라의 순환 코hom로지와 비가환 웨일 대수의 코hom로지 사이의 연결 고리 수립
• 퀴렌과 크레인릭의 구성 일반화를 통해 호프-사이클릭 코hom로지의 맥락에서 컵곱 정의
• 제안된 컵곱과 순환 코hom로지의 $S$-작용 사이의 관계 명확화
• 제안된 쌍대화를 기존의 구성들과 비교하고, 특히 [15]의 구성과의 동치성을 증명

제안 방법

• 코알제브라 $C$ 와 안정적인 반-예터-드리프딘 모듈러 $\mathcal{M}$ 에 대해 비가환 웨일 대수 $W^\boldsymbol{\text{H}}(C,\boldsymbol{\text{M}})$ 를 구성하고, 그 코hom로지를 계산한다.
• 순환 작용 $\delta_i$, $\sigma_i$, $\tau_n$ 을 갖는 파라순환 모듈러 $C^{\ast}(C,\mathcal{M}) = \mathcal{M} \otimes C^{\otimes n+1}$ 를 정의하며, $\tau_n^{n+1} = 1$ 를 제외한 모든 순환관계를 만족한다.
• 모듈러 $\mathcal{M}$ 이 안정적이고 반-예터-드리프딘일 경우, $\mathcal{H}$-불변 몫 $C^{\ast}_{\mathcal{H}}(C,\mathcal{M}) = \mathcal{M} \otimes_{\mathcal{H}} C^{\otimes n+1}$ 으로 이동하여, 이는 순환 모듈러가 된다.
• 웨일 대수와 맵 $\rho: W_{\natural}/\operatorname{Im} d \to \operatorname{Hom}(BA^{\natural}, \Bbbk)$ 를 사용한 일반화된 크레인릭 형식의 구성에 의해 컵곱을 정의한다.
• $cs_{m+n} = i w^{m+n} \in W$ 를 $W_{\natural}/\operatorname{Im} d$ 에서의 코호몰로지 원소로 사용하여, 조합 $\int \circ \mathbf{ev}_{\xi} \circ \tau \circ \rho(cs_{m+n})$ 로 쌍대화를 정의한다.
• 경계사상과 $W$ 위에서의 $b$ 와 $\delta$ 작용을 사용하여, $n$ 에 대한 귀납법으로 핵심 항등식 $\alpha_n[\sigma(cs_{m+n})(\xi)] = \frac{m+1}{m+n+1}[\xi]$ 를 $HC^{m}_{\mathcal{H}}(C,\mathcal{M})$ 에서 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 대수와 코알제브라의 호프-사이클릭 코hom로지에서 계수를 갖는 컵곱의 구조를 일관적으로 정의할 수 있는가?
• RQ2 비가환 웨일 대수는 코알제브라의 순환 코hom로지를 어떻게 실현하는가?
• RQ3 제안된 컵곱은 순환 코hom로지의 $S$-작용과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 크레인릭 형식의 쌍대화는 이 프레임워크에서 컵곱 구성과 어떤 방식으로 일치하는가?
• RQ5 이곳에서 정의된 쌍대화는 [15]의 구성과 동치인가? 만약 그렇다면 어떤 조건에서인가?

주요 결과

• 코알제브라 $C$ 와 안정적인 반-예터-드리프딘 모듈러 $\mathcal{M}$ 에 대한 순환 코hom로지는 비가환 웨일 대수 $W^{\mathcal{H}}(C,\mathcal{M})$ 의 코hom로지로 실현된다.
• 호프-사이클릭 코hom로지의 컵곱은 웨일 대수와 맵 $\rho$ 를 사용한 일반화된 크레인릭 형식의 쌍대화를 통해 구성되며, 이는 닫힌 추적을 순환 코호몰로지 원소로 식별한다.
• 핵심 항등식 $\alpha_n[\sigma(cs_{m+n})(\xi)] = \frac{m+1}{m+n+1}[\xi]$ 는 귀납법으로 증명되어, 쌍대화가 $S$-작용과 호환됨을 보장한다.
• 여기서 정의된 컵곱은 [15]의 구성과 일치하며, 조합 $\int \circ \mathbf{ev}_{\xi} \circ \tau \circ \rho(cs_{m+n})$ 가 쌍대화 $\sigma(cs_{m+n})(\xi)$ 와 동일함으로써 증명된다.
• 경계사상 $\varphi$ 는 $H^*(W^{n+1}_{\natural}/\operatorname{Im} d, \delta)$ 에서 $\varphi[cs_n] = \frac{n+1}{n+2}[cs_{n+1}]$ 를 만족하며, 이는 귀납적 증명에 필수적이다.
• 이 구성은 쌍대화와 $S$-작용 사이의 자연스러운 동형사상을 수립하여, 컵곱이 주기성과 콘스-톤넬리 맵과 호환됨을 보여준다.