[논문 리뷰] Pairings on hyperelliptic curves

Jennifer S. Balakrishnan, Juliana Belding외 4명|arXiv (Cornell University)|2009. 08. 26.

Cryptography and Residue Arithmetic참고 문헌 63인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 암호학에서 고유도 2 곡선에 중점을 두고, 초타원형 쌍대성(pairings)에 대한 종합적 서베이와 통합 프레임워크를 제공한다. 쌍대성 우호적인 초타원형 곡선의 구축법을 검토하고, Ate, R-ate, Hess-Vercauteren 변형을 포함한 기존 쌍대성을 분류하며, 그 계산을 최적화한다. 이로써 초타원형 쌍대성이 특정 환경에서는 타원곡선 쌍대성과 경쟁 가능하다는 것을 보여주며, 특히 밀러 루프 길이를 줄이고 일부 경우에 최종 거듭제곱이 필요로 하지 않는 경우가 있다.

ABSTRACT

We assemble and reorganize the recent work in the area of hyperelliptic pairings: We survey the research on constructing hyperelliptic curves suitable for pairing-based cryptography. We also showcase the hyperelliptic pairings proposed to date, and develop a unifying framework. We discuss the techniques used to optimize the pairing computation on hyperelliptic curves, and present many directions for further research.

연구 동기 및 목표

• 쌍대성 기반 암호학에 적합한 초타원형 곡선에 관한 최근 연구를 서베이하고 재조직화하는 것, 특히 일반적인 경우에 중점을 두고.
• Ate, R-ate, Hess-Vercauteren 가족을 포함한 초타원형 쌍대성에 대한 통합 프레임워크를 제시하는 것.
• 고유도 2 초타원형 곡선에서 쌍대성 계산 기법을 분석하고 최적화하는 것.
• 초타원형 쌍대성의 효율성과 적용 분야에서의 열린 문제들과 향후 연구 방향을 규명하는 것.

제안 방법

• 저자들은 Hess와 Vercauteren의 작업을 바탕으로 초타원형 쌍대성에 대한 일반화된 프레임워크를 개발하여, 그들의 타원곡선 프레임워크를 초타원형 곡선으로 확장한다.
• 이 프레임워크 내에서 이중성과 비퇴화성의 성질을 디바이저 이론과 곡선 상의 함수 평가를 통해 분석한다.
• 문헌에서의 명시적 공식과 최적화 기법(예: [50, 73])을 활용하여 고유도 2 재작도에서 산술 연산의 효율성을 향상시킨다.
• 함수 평가와 디바이저 상의 곱 연산의 복잡도를 분석하여 쌍대성 계산 비용을 비교한다.
• 토르션 부분군의 구조와 임bedding 차수를 분석하여 낮은 전체 임베딩 차수를 가지는 곡선을 식별한다.
• 실수 모델(real models)의 초타원형 곡선 사용을 탐색하고, 그들이 효율적인 쌍대성 계산에 기여할 잠재력을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 타원곡선 Ate 쌍대성 프레임워크를 일반화하여 초타원형 쌍대성에 대해 통합 프레임워크를 수립할 수 있는가?
• RQ2 초타원형 쌍대성의 성능 특성은 무엇인가, 특히 밀러 루프 길이와 최종 거듭제곱의 필요성 측면에서?
• RQ3 특히 ρ < 2일 경우를 포함해 더 작은 ρ 값을 가지는 쌍대성 친화적인 초타원형 곡선을 구성할 수 있는가?
• RQ4 타원곡선으로는 실현할 수 없고 고유도 2 이상의 재작도를 필요로 하는 암호학적 응용은 존재하는가?
• RQ5 실수 모델의 초타원형 곡선에서도 효율적인 쌍대성 계산이 가능할 수 있으며, 그 성능은 허수 모델과 비교해 어떻게 되는가?

주요 결과

• 초타원형 Ate 쌍대성의 경우 최종 거듭제곱이 필요로 하지 않아, 타원곡선의 경우와는 달리 계산상의 이점이 있다.
• 초타원형 Ate 쌍대성의 밀러 루프 길이는 타원곡선의 테이트 쌍대성 대비 약 절반으로 줄어들어 효율성이 향상된다.
• 고유도 2 곡선의 경우, 낮은 임베딩 차수를 가지는 일반 곡선의 최소 ρ 값은 약 20/9이며, 이상적인 ρ < 2에 못 미친다.
• Hess-Vercauteren(HV) 쌍대성 프레임워크는 Ate 및 R-ate 쌍대성을 일반화하며, 임베딩 차수에 따라 더 짧은 루프를 가질 수 있는 변형을 포함한다.
• 논문은 디바이저 상의 함수 평가의 복잡성이 높아 초타원형 곡선에서의 쌍대성 계산이 타원곡선보다 더 비용이 많이 든다는 점을 규명한다.
• 현재까지 알려진 바에 따르면, 고유도 2 이상의 재작도를 필요로 하고 타원곡선으로는 실현할 수 없는 암호학적 응용은 발견되지 않았다.