[논문 리뷰] Pairwise approximation for SIR type network epidemics with non-Markovian recovery

Gergely Röst, Zsolt Vizi외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 10.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비마르코프성 회복 시간을 가진 네트워크 기반 SIR 전염병에 대해 일반화된 쌍별 근사 모델을 개발한다. 감염 연령과 링크 상태를 추적하기 위해 적분미분방정식을 사용하며, 최종 전염병 규모와 쌍별 복제 수의 기능적 형태를 엄밀히 증명한다. 지수, 고정, 감마, 균등 분포의 회복 시간 분포에 대해 기존 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We present the generalised mean-field and pairwise models for non-Markovian epidemics on networks with arbitrary recovery time distributions. First we consider a hyperbolic system, where the population of infective nodes and links are structured by age since infection. By solving the partial differential equations, the model is transformed into a system of integro-differential equations, which is analysed both from a mathematical and numerical point of view. We analytically study the asymptotic behaviour of the generalised model and provide a rigorous mathematical proof of the conjecture on the functional form of the final epidemic size and pairwise reproduction number. As an illustration of the applicability of the general model we recover known results for the exponentially distributed and fixed recovery time cases and obtain new pairwise models with gamma and uniformly distributed infectious period. The general framework that we proposed shows a more complete picture of the impact of non-Markovian recovery on network epidemics.

연구 동기 및 목표

• 네트워크 기반 SIR 전염병의 쌍별 및 평균장 모델을 비마르코프성 회복 시간을 고려하도록 확장하여, 일반적으로 사용되는 기억 없는 회복 가정을 넘어서고자 한다.
• 노드 및 링크 수준에서 감염 연령에 따라 구조화된 쌍곡형 시스템을 개발하여 임의의 회복 시간 분포를 정확히 모델링할 수 있도록 하고자 한다.
• 비마르코프성 설정에서 최종 전염병 규모와 쌍별 복제 수의 기능적 형태를 해석적으로 유도하고 엄밀히 증명하고자 한다.
• 지수 및 고정 회복 시간에 대해 알려진 결과를 회복하고 감마 및 균등 분포에 대해 새로운 모델을 유도함으로써 모델의 적용 가능성을 입증하고자 한다.
• 비마르코프성 회복이 네트워크 기반 인구의 전염병 역학에 미치는 영향을 완전히 드러내는 통합적 프레임워크를 제공하고자 한다.

제안 방법

• 감염 이후 경과 시간에 따라 감염된 노드 및 S-I 링크의 밀도를 추적하는 쌍곡형 편미분방정식 시스템을 수립한다.
• 회복 시간 분포의 생존함수와 위험함수를 포함하기 위해 감염 연령에 대해 통합함으로써 PDE 시스템을 적분미분방정식 시스템으로 변환한다.
• 상수의 변형 공식과 수학적 귀납법을 적용하여 일반적인 회복 분포 하에서 감염자 수의 명시적 해를 도출한다.
• 구분 기반 수치적 방법과 구적 근사법을 사용하여 유도된 비선형 적분미분방정식을 해결한다.
• 임의의 회복 시간 생성 방식을 사용하는 사고 기반 스토케스틱 시뮬레이션 알고리즘을 통해 모델을 검증한다.
• 생존함수와 전파율을 포함하는 암시적 관계를 통해 최종 전염병 규모를 도출함으로써 해석적 및 수치적 분석이 가능하도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비마르코프성 회복을 가진 네트워크 기반 SIR 모델에서 최종 전염병 규모는 회복 시간 분포에 어떻게 의존하는가?
• RQ2 임의의 회복 시간 분포 존재 하에서 쌍별 복제 수의 기능적 형태는 무엇인가?
• RQ3 표준 쌍별 모델은 비마르코프성 회복을 수용하면서도 해석적 취급 가능성을 유지할 수 있는가?
• RQ4 지수, 고정, 감마, 균등 분포와 같은 다양한 회복 시간 분포는 전염병 임계점과 최종 규모에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 감염 연령에 따라 구조화된 비마르코프성 회복 모델에서 유도되는 적분미분방정식 시스템의 수학적 구조는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 비마르코프성 SIR 전염병에서 최종 전염병 규모의 추측된 기능적 형태에 대해 엄밀한 수학적 증명을 제공한다.
• 쌍별 복제 수는 회복 시간 분포의 생존함수에 의존하며, 마르코프 케이스를 일반화한다.
• 지수 분포 및 고정 회복 시간에 대해 알려진 결과를 회복하여 기존 문헌과의 일致성을 확인한다.
• 감마 및 균등 분포된 감염 기간에 대해 새로운 쌍별 모델을 도출하여 이 프레임워크의 적용 가능성을 확장한다.
• 구분 기반 수치 방법과 구적 근사법을 사용한 수치 시뮬레이션은 비선형 적분미분방정식 시스템을 성공적으로 해결하여 모델의 계산 가능성 검증한다.
• 해석은 해의 양수성을 확인하고, 회복 시간 분포에 따라 정의된 전염병 임계점의 존재를 확립한다.