[논문 리뷰] Pairwise non-coprimality of triples

Randell Heyman|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 22.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 4인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $H$ 이하의 양의 정수들로 이루어진 삼중항 $(a_1, a_2, a_3)$ 중에서 서로소가 아닌 쌍이 모두 존재하는 경우의 수에 대한 渐近 공식을 유도한다. 즉, 모든 $i \neq j$에 대해 $\gcd(a_i, a_j) \neq 1$인 경우이다. 포함-배제 원리와 기존의 서로소 쌍 및 삼중항에 대한 결과를 활용하여, $\mathcal{N}_3(H) = \rho H^3 + O(H^2 (\log H)^2)$ 를 도출한다. 여기서 $\rho \approx 0.1742$이며, 이는 임의의 세 양의 정수가 서로소가 아닌 쌍을 이루는 확률이 약 17.4%임을 의미한다.

ABSTRACT

We say that $(a_1,...,a_k)$ is pairwise non-coprime if $\gcd(a_i,a_j) e 1$ for all $1 \le i

연구 동기 및 목표

• 모든 $i \neq j$에 대해 $\gcd(a_i, a_j) \neq 1$인 조건을 만족하는 $1 \leq a_i \leq H$인 삼중항 $(a_1, a_2, a_3)$의 수를 세는 것.
• 모든 $i \neq j$에 대해 서로소가 아닌 삼중항의 수인 $\mathcal{N}_3(H)$에 대한 渐近 공식을 $H \to \infty$일 때 도출하는 것.
• $m \geq 2$인 경우 $\sum_{n=1}^H (\varphi(n)/n)^m$의 渐近 전개에서 오차 항에 대한 상한을 제공하는 것.
• 기존의 서로소 $k$-튜플에 대한 결과를 서로소가 아닌 삼중항의 경우로 확장하는 것.

제안 방법

• 포함-배제 원리를 적용하여 $\mathcal{N}_3(H)$를 적어도 한 쌍이 서로소인 삼중항의 수, 두 쌍이 서로소인 삼중항의 수, 모든 쌍이 서로소인 삼중항의 수의 조합으로 표현하는 것.
• 기존의 渐近 공식을 활용: $\sum_{1 \leq a_1,a_2,a_3 \leq H, \gcd(a_1,a_2)=1} 1 = \frac{H^3}{\zeta(2)} + O(H^2 \log H)$ 및 $\sum_{\text{모든 쌍이 서로소}} 1 = \vartheta(3)H^3 + O(H^2 (\log H)^2)$.
• 이중 서로소 쌍 합 $\sum_{n \leq H} \varphi(n,H)^2$를 오일러 피 함수와 함수 $\varphi(n,H) = \sum_{\substack{1 \leq a \leq H \\ (a,n)=1}} 1$을 사용하여 표현하는 것.
• 항등식 $\varphi(n,H) = \frac{H \varphi(n)}{n} + O(2^{\omega(n)})$를 사용하고 제곱을 전개하여 $\left(\frac{\varphi(n)}{n}\right)^2$를 포함하는 합으로 전개하는 것.
• 에르미트의 보조정리 2를 적용하여 $\sum_{n \leq H} \left(\frac{\varphi(n)}{n}\right)^2$를 계산하고, 오차 항이 $O((\log H)^m)$임을 보장하는 渐近 전개를 도출하는 것.
• 포함-배제 원리를 통해 모든 항을 결합하고 간단화하여 최종적으로 상수 $\rho$를 포함한 渐近 공식을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서로소가 아닌 삼중항의 집합에 대한 渐近 밀도는 무엇인가?
• RQ2 포함-배제 원리는 서로소가 아닌 삼중항을 세는 데 어떻게 적용될 수 있는가?
• RQ3 $\sum_{n=1}^H (\varphi(n)/n)^2$의 渐近 전개에서 오차 항은 무엇인가?
• RQ4 서로소가 아닌 삼중항을 세는 데 사용된 방법은 고차원 튜플로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• $H \to \infty$일 때 $\mathcal{N}_3(H) = \rho H^3 + O(H^2 (\log H)^2)$ 를 만족하며, 여기서 $\rho$는 오일러 곱을 통해 정의된 상수이다.
• 상수 $\rho = 1 - \frac{3}{\zeta(2)} + 3\prod_p \left(1 - \frac{2p-1}{p^3}\right) - \prod_p \left(1 - \frac{3p-2}{p^3}\right)$ 는 수치적으로 약 $0.1742$로 계산된다.
• 세 개의 임의의 양의 정수가 서로소가 아닌 쌍을 이룰 확률은 약 17.4%이다.
• $m \geq 2$인 경우 $\sum_{n=1}^H (\varphi(n)/n)^m$의 오차 항에 대해 $O((\log H)^m)$의 상한이 도출되었으며, 이는 이전의 해석적 접근과 다른 초등적 증명을 통해 이루어졌다.
• 이 방법은 포함-배제 원리와 기존의 서로소 쌍 및 삼중항에 대한 渐近 결과에 의존하지만, $n > 3$로 확장하기는 어려운 편이며, 필요한 합의 조합적 폭발이 발생하기 때문이다.