[논문 리뷰] Pairwise Relative Primality of Positive Integers

Jerry Hu|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 12.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 3인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 그래프 이론적 프레임워크를 도입하여, k개의 랜덤한 양의 정수가 상대적으로 소수인 확률에 대한 고전 결과를 일반화한다. 여기서 G는 쌍별로 서로소 조건을 코딩하며, k개의 정수가 G-wise 상대적으로 소수임 확률을 계산한다. 포함배제의 원리와 곱셈적 수론을 사용하여 이러한 k-튜플의 수에 대한 점근 공식을 유도하고, 자연 밀도가 G의 독립 집합 수를 포함한 소수에 대한 오일러乘법의 형태로 주어진다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

Given a graph $G=(V,E)$ with $V=\{1,2,...,k\}$, the $k$ positive integers $a_1,a_2, ...,a_k$ are $G$-wise relatively prime if $(a_i, a_j)=1$ for $\{i,j\} \in E$. In this note we consider the problem of finding the probability $A_G$ that k positive integers are $G$-wise relatively prime. As an application of our results, we solve the problems of finding probabilities that k positive integers have exact (or at least) r relatively prime pairs, which was proposed by P. Moree.

연구 동기 및 목표

• 고전적 결과인 k개의 랜덤한 정수가 상대적으로 소수일 확률이 $1/\zeta(k)$임을, 특정 쌍들만 서로소여야 하는 경우로 확장한다. 이는 그래프 G로 정의된다.
• G가 정수 쌍 간의 필수 상대적 소수 조건을 지정할 때, G-wise 상대적으로 소수인 k개의 양의 정수 튜플의 자연 밀도 $A_G$를 계산한다.
• 고정된 정수 $u_i$에 대해 추가적인 상대적 소수 조건을 통합하기 위해, $u_i$와 G-wise 상대적으로 소수인 k-튜플의 수 $Q_G^{(u)}(n)$을 연구한다.
• 정확히 또는 최소 r개의 상대적으로 소수인 쌍을 가지는 확률을 계산하기 위한 통합 프레임워크를 제공한다. 이는 포함배제 원리와 곱셈적 함수를 활용한다.

제안 방법

• k개의 정점에서 구성된 그래프 $G = (V,E)$를 정의하여, 간선이 정수 쌍 간의 필수 상대적 소수 조건을 나타내도록 한다.
• G의 크기가 m인 독립 집합의 수를 $i_m(G)$로 표기하고, 주요 밀도 공식 $A_G = \prod_p \left( \sum_{m=0}^k i_m(G) \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{k-m} \frac{1}{p^m} \right)$을 구성한다.
• 고정된 $u_i$에 대해 정수가 상대적으로 소수여야 할 경우를 고려하기 위해 보정 인자 $f_G(u)$를 도입한다. 이는 소수 $d$에 의해 나누어지는 인덱스의 집합 $S(u,d)$의 구조에 기반한다.
• 모비우스 역전개와 곱셈적 수론을 적용하여 점근 공식 $Q_G^{(u)}(n) = A_G f_G(u) n^k + O(\theta(u) n^{k-1} \log^{k-1} n)$을 도출한다.
• 정점 제거($G \to G-v$)를 통한 재귀적 분해와 귀납법을 사용하여 주요 정리를 증명한다. 이는 곱셈적 함수와 약수 합에 관한 보조정리들을 활용한다.
• 포함배제 원리를 적용하여 k개의 정수 중 정확히 또는 최소 $r$개의 상대적 소수 쌍을 가지는 확률을 계산한다. 이는 $i$개의 간선을 가진 그래프에 대한 합 $B_{k,i} = \sum_{|E|=i} A_G$를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 그래프 $G$에 대해, G-wise 상대적으로 소수인 k개의 양의 정수 튜플의 자연 밀도는 무엇인가?
• RQ2 정수가 고정된 $u_i$와도 상대적으로 소수여야 할 경우, G-wise 상대적 소수성의 확률은 어떻게 변화하는가?
• RQ3 k개의 랜덤한 양의 정수가 정확히 $r$개의 상대적 소수 쌍을 가지는 확률은 무엇인가?
• RQ4 k개의 양의 정수가 쌍별로 상대적으로 소수되지 않는 확률은 무엇인가?
• RQ5 그래프의 독립 집합 수가 G-wise 상대적으로 소수인 k-튜플의 밀도에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• k개의 양의 정수가 G-wise 상대적으로 소수일 자연 밀도 $A_G$는 오일러 곱 $A_G = \prod_p \left( \sum_{m=0}^k i_m(G) \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{k-m} \frac{1}{p^m} \right)$로 주어지며, 여기서 $i_m(G)$는 G에서 크기가 $m$인 독립 집합의 수이다.
• $u_i = 1$일 경우, k개의 정수가 G-wise 상대적으로 소수일 확률은 $A_G = \prod_p \left( \sum_{m=0}^k i_m(G) \left(1 - \frac{1}{p}\right)^{k-m} \frac{1}{p^m} \right)$이며, 이는 $k=2$일 때 고전적인 $6/\pi^2$ 결과를 일반화한다.
• 세 개의 양의 정수가 쌍별로 상대적으로 소수되지 않는 확률은 $A_{3,=0} = 1 - 3A_{3,1} + 3A_{3,2} - A_{3,3}$로 주어지며, $A_{3,1} = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)$, $A_{3,2} = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right)\left(1 + \left(1 - \frac{1}{p}\right)\frac{1}{p}\right)$, $A_{3,3} = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p}\right)^2 \left(1 - \frac{2}{p}\right)$이다.
• 네 개의 정수에 대해 정확히 $r$개의 상대적 소수 쌍을 가지는 확률은 포함배제를 통해 계산된다: $A_{4,=0} = 1 - 6A_{4,1} + 12A_{4,2,1} + 3A_{4,2,2} - 4A_{4,3,1} - 16A_{4,3,2} + 15A_{4,4} - 6A_{4,5} + A_{4,6}$이며, 각 $A_{4,i,j}$에 대한 명시적 공식이 존재한다.
• G-wise 상대적으로 소수이면서 $u_i$와도 상대적으로 소수인 k-튜플의 점근 수 $Q_G^{(u)}(n)$는 $Q_G^{(u)}(n) = A_G f_G(u) n^k + O(\theta(u) n^{k-1} \log^{k-1} n)$를 만족하며, 여기서 $\theta(u)$는 $u_i$들 중 제곱 자유 약수의 최대 개수이다.
• 이 방법은 네 개의 정수가 쌍별로 상대적으로 소수되지 않는 확률을 성공적으로 계산하여, 프리버그의 결과를 복구하고 일반화하였다. 이는 체계적인 그래프 이론적 및 곱셈적 접근을 통해 달성되었다.