[논문 리뷰] Paley Graphs and Their Generalization

Ahmed Noubi Elsawy|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 22.

Finite Group Theory Research참고 문헌 13인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위에서 m-Paley 그래프를 정의함으로써 팔레이 그래프를 일반화한다. 여기서 정점들은 그 차이가 곱셈군의 m제곱에 속할 경우에만 연결된다. 이 논문은 m-Paley 그래프가 대칭적임을 증명하며, d = gcd(m, q−1) > 1일 경우 (q−1)/d-정규임을 보이며, 소수 차수에서는 연결되어 있지만 복합 소수 거듭제곱 차수에서는 반드시 연결되어 있지는 않다. 또한 고전적 팔레이 그래프와 달리 자기보완성은 갖지 않는다.

ABSTRACT

To construct a Paley graph, we fix a finite field and consider its elements as vertices of the Paley graph. Two vertices are connected by an edge if their difference is a square in the field. We will study some important properties of the Paley graphs. In particular, we will show that the Paley graphs are connected, symmetric, and self-complementary. Also we will show that the Paley graph of order q is (q-1)/2 -regular, and every two adjacent vertices have (q-5)/4 common neighbors, and every two non-adjacent vertices have q-1/4 common neighbors, which means that the Paley graphs are strongly regular with parameters(q,q-1/2,q-5/4, q-1/4). Paley graphs are generalized by many mathematicians. In the first section of Chapter 3 we will see three examples of these generalizations and some of their basic properties. In the second section of Chapter 3 we will define a new generalization of the Paley graphs, in which pairs of elements of a finite field are connected by an edge if and only if there difference belongs to the m-th power of the multiplicative group of the field, for any odd integer m > 1, and we call them the m-Paley graphs. In the third section we will show that the m-Paley graph of order q is complete if and only if gcd(m, q - 1) = 1 and when d = gcd(m, q - 1) > 1, the m-Paley graph is q-1/d -regular. Also we will prove that the m-Paley graphs are symmetric but not self-complementary. We will show also that the m-Paley graphs of prime order are connected but the m-Paley graphs of order p^n, n > 1 are not necessary connected, for example they are disconnected if gcd(m, p^n - 1) =(p^n-1)/ 2.

연구 동기 및 목표

• 소수 거듭제곱 차수의 유한체에서 m제곱 차이를 이용한 더 넓은 범주의 그래프로 고전적 팔레이 그래프 구성법을 확장한다.
• 이 일반화된 m-Paley 그래프의 구조적 성질—정규성, 대칭성, 연결성 등을 분석한다.
• m-Paley 그래프가 완전 그래프이거나 정규 그래프이거나 비연결 그래프가 되는 조건을 특정함에 있어 gcd(m, q−1)에 따라 달라지는지 규명한다.
• 새로운 m-Paley 그래프를 고전적 팔레이 그래프와 비교하며, 특히 자기보완성과 강한 정규성에 관해 논의한다.
• 제어된 대수적 및 조합적 성질을 갖는 유한체 기반 그래프를 연구하기 위한 프레임워크를 수립한다.

제안 방법

• 두 정점이 유한체에서 차이가 곱셈군의 m제곱에 속할 경우에만 연결하는 방식으로 m-Paley 그래프를 정의한다.
• 유한체의 곱셈군의 군론적 성질을 활용해 간선 집합과 정규성을 분석한다.
• 특히 gcd(m, q−1)를 이용해 m-Paley 그래프의 정규성 정도를 결정하기 위해 수론적 도구를 적용한다.
• 체의 순서 q = p^n을 활용해 소수 및 복합 체 확장에서의 연결성을 분석한다.
• 체의 자기동형사상과 정점 쌍에 대한 군 작용에 대한 불변성을 보여 정점 쌍의 대칭성을 증명한다.
• 공통 이웃 수의 수세기 방법을 사용해 정규성과 고전적 팔레이 그래프의 매개변수를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 m-Paley 그래프가 차수 q에서 완전 그래프가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 m-Paley 그래프의 정규성은 gcd(m, q−1)에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ3 m-Paley 그래프는 대칭적인가? 또한 고전적 팔레이 그래프와 마찬가지로 자기보완성 성질을 유지하는가?
• RQ4 n의 어떤 값에 대해 m-Paley 그래프가 차수 p^n에서 연결되어 있는가?
• RQ5 m-Paley 그래프에서 인접한 정점 쌍과 비인접 정점 쌍의 공통 이웃 수는 각각 얼마인가?

주요 결과

• m-Paley 그래프가 완전 그래프일 조건은 gcd(m, q−1) = 1일 때이다.
• d = gcd(m, q−1) > 1일 경우, m-Paley 그래프는 (q−1)/d-정규이다.
• m-Paley 그래프는 체의 자기동형사상과 군 작용에 대해 불변이므로 대칭적이다.
• m-Paley 그래프는 자기보완적이지 않으며, 이는 고전적 팔레이 그래프와의 주요 차이점이다.
• 소수 차수의 m-Paley 그래프는 연결되어 있지만, n > 1인 경우 p^n 차수의 그래프는 비연결일 수 있으며, 특히 gcd(m, p^n−1) = (p^n−1)/2일 경우에 더 그렇다.
• m-Paley 그래프는 고전적 팔레이 그래프의 강한 정규성 매개변수를 만족하지 못한다. 인접한 정점 쌍과 비인접 정점 쌍에 대해 공통 이웃 수가 일관되지 않기 때문이다.