[논문 리뷰] Paley type group schemes from cyclotomic classes and Arasu-Dillon-Player difference sets

Yu Qing Chen, Tao Feng|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 10.

Coding theory and cryptography참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 순환 클래스와 Arasu-Dillon-Player 차이 집합을 이용하여 유한체에서 아벨 페일리 유형 군 스킴의 새로운 구성법을 제안한다. 이를 통해 곱셈 특성과 Singer 유형의 차이 집합을 활용한다. 주요 기여는 $\mathbb{F}_{3^5}$에서 14개의 새로운 갈루아 불변 페일리 유형 군 스킴과 $\mathbb{F}_{3^7}$에서 최소 18개를 발견한 것으로, 이는 이전에 알려진 구성법과 비이sov모르는 구성으로서의 특성을 지닌다.

ABSTRACT

In this paper, we present constructions of abelian Paley type group schemes by using multiplicative characters of finite fields and Arasu-Dillon-Player difference sets. The constructions produce many new Paley type group schemes that were previous unknown in our classification of Paley type group schemes in finite fields of small orders.

연구 동기 및 목표

• 순환 클래스와 차이 집합을 이용하여 기존 구성법을 초월한 유한체 내 새로운 페일리 유형 군 스킴을 구성하기.
• 소규모 유한체에서의 구성법에 대해 체계적인 컴퓨터 검색을 통해 서로 다른 페일리 유형 군 스킴을 분류하고 식별하기.
• 홀수 차수 확장 $\mathbb{F}_{q^l}$에서 기존의 Singer 차이 집합과 Arasu-Dillon-Player 차이 집합을 활용하여 구성법을 확장하기.
• 이러한 스킴에 관련된 구성의 자기동형군과 이sov모르는 유형을 규명하기.
• 몫군 내 차이 집합의 합집합과 교집합을 통해 새로운 페일리 유형 군 스킴을 생성하는 일반적인 구성 방법을 수립하기.

제안 방법

• 저자들은 군 링 $\mathbb{Z}[G]$ 내의 형식적 합을 통해 체의 곱셈 특성을 이용하여 페일리 유형 군 스킴을 분석하고 구성한다.
• 군 링 $\mathbb{Z}[G]$ 내에서 $(1 + 2\mathbb{D}^{(-1)})(1 + 2\mathbb{D}) = |G| + (|G| - 1)G$ 식을 적용하여 페일리 유형 군 스킴을 정의한다.
• 구성은 $\mathbb{F}_{q^l}^* / \mathbb{F}_q^*$ 내에서의 순환 클래스 $S^{(k)}_{q^l/q}$와 Arasu-Dillon-Player 차이 집합 $A_{q^l/q}(m)$에 기반한다.
• 유한체의 순서가 $\leq 240$인 경우에 대해 MAGMA를 사용하여 체계적인 검색을 수행하고, 구성의 이sov모르는 유형에 따라 스킴을 분류한다.
• 정리 1.2와 정리 4.2와 같은 이론적 결과는 $\mathbb{D}(X)$가 스킴을 형성하는 조건을 제시하며, 이는 곱셈 몫군의 부분집합 $X$에 대해 성립한다.
• 핵심 기법은 $\mathbb{D}(X_1)$과 $\mathbb{D}(X_2)$가 모두 페일리 유형 군 스킴이면, $X_1 \cap X_2 = \emptyset$ 조건 하에 $\mathbb{D}(X_1 \cup X_2)$도 페일리 유형 군 스킴이 된다는 식의 항등식을 활용하는 것이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 방법을 초월하여 순환 클래스와 Arasu-Dillon-Player 차이 집합을 이용해 유한체 내 새로운 페일리 유형 군 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ2 $\mathbb{F}_{3^5}$와 $\mathbb{F}_{3^7}$에서 서로 다른 구성이 비이sov모르는 구성으로서 존재하는 페일리 유형 군 스킴은 몇 개인가?
• RQ3 홀수 $l$에 대해 $\mathbb{F}_{q^l}$ 내에서 기존 구성법이나 페일리 군 스킴과 동치가 아닌 새로운 갈루아 불변 페일리 유형 군 스킴이 존재하는가?
• RQ4 $\mathfrak{C}(\mathbb{D}(S^{(2)}_{5^3/5}))$의 자기동형군은 무엇인가?
• RQ5 몫군 $\mathbb{F}_{q^l}^* / \mathbb{F}_q^*$ 내에서 두 페일리 유형 군 스킴의 합집합 또는 교집합이 다른 페일리 유형 군 스킴을 생성할 수 있는가?

주요 결과

• $\mathbb{F}_{3^5}$에서는 구성의 이sov모르는 구성이 10개로 확인되었으며, 이는 $\mathbb{D}(S^{(2)}_{3^5/3})$, $\mathbb{D}(S^{(4)}_{3^5/3})$, $\mathbb{D}(S^{(5)}_{3^5/3})$, $\mathbb{D}(S^{(10)}_{3^5/3})$, $\mathbb{D}(S^{(20)}_{3^5/3})$, $\mathbb{D}(S^{(40)}_{3^5/3})$, $\mathbb{D}(A_{3^5/3}(4))$, $\mathbb{D}(A_{3^5/3}(5))$, $\mathbb{D}(A_{3^5/3}(10))$, $\mathbb{D}(A_{3^5/3}(20))$를 포함한다.
• $\mathfrak{C}(\mathbb{D}(S^{(2)}_{5^3/5}))$의 자기동형군의 순서는 $2^3 \cdot 3 \cdot 5^3$이며, 이는 비자명한 대칭성을 지닌다는 것을 확인한다.
• $\mathbb{F}_{3^5}$에서 $S^{(5)}_{3^5/3} \cap A_{3^5/3}(5)$의 교집합은 기존에 발견된 13개의 스킴과 이sov모르는 구성이 존재하는 새로운 페일리 유형 군 스킴을 생성한다.
• $\mathbb{F}_{7^3}$에서는 $\mathbb{D}(S^{(2)}_{7^3/7})$와 $\mathbb{D}(S^{(-1)}_{7^3/7})$로부터 유도된 두 개의 이sov모르는 구성이 발생하며, 각각의 자기동형군 순서는 $3^2 \cdot 7^3$이다.
• $\mathbb{F}_{3^7}$에서는 구성의 이sov모르는 구성이 14개로 발견되었으며, 이는 $\mathbb{D}(S^{(2)}_{3^7/3})$, $\mathbb{D}(S^{(4)}_{3^7/3})$, $\mathbb{D}(S^{(5)}_{3^7/3})$, $\mathbb{D}(S^{(10)}_{3^7/3})$, $\mathbb{D}(S^{(14)}_{3^7/3})$, $\mathbb{D}(S^{(28)}_{3^7/3})$, $\mathbb{D}(S^{(182)}_{3^7/3})$, $\mathbb{D}(S^{(364)}_{3^7/3})$, $\mathbb{D}(A_{3^7/3}(4))$, $\mathbb{D}(A_{3^7/3}(5))$, $\mathbb{D}(A_{3^7/3}(10))$, $\mathbb{D}(A_{3^7/3}(14))$, $\mathbb{D}(A_{3^7/3}(28))$, $\mathbb{D}(A_{3^7/3}(182))$를 포함한다.
• $\mathbb{F}_{3^7}$의 14개 스킴 중 어느 것도 $\mathrm{DY}(\pm1)$나 $\mathrm{RT}(\pm1)$와 이sov모르지 않으며, 이는 $\mathbb{F}_{3^7}$에서 페일리 군 스킴 이외에 최소 18개의 갈루아 불변 페일리 유형 군 스킴이 존재한다는 것을 시사한다.