[논문 리뷰] Palindromic width of wreath products, metabelian groups, and max-n solvable groups

Tim Riley, Andrew W. Sale|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 18.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $G \wr \mathbb{Z}^r$, 유한 생성 메타아벨 군, 그리고 최대조건(max-n)을 만족하는 유한 생성 가해군이 모두 유한 팰린드롬 폭을 가짐을 증명한다. $G \wr \mathbb{Z}^r$의 팔린드롬 폭에 대해 명시적인 상한을 제시하고, 메타아벨 군에서의 유한 팔린드롬 폭에 대해 이전 결과에 의존하지 않는 자가 일관된 증명을 제공하며, 교환자 및 팔린드롬 길이의 논증을 통해 max-n 가해군으로 결과를 확장한다.

ABSTRACT

A group has finite palindromic width if there exists $n$ such that every element can be expressed as a product of $n$ or fewer palindromic words. We show that if $G$ has finite palindromic width with respect to some generating set, then so does $G \wr \mathbb{Z}^{r}$. We also give a new, self-contained, proof that finitely generated metabelian groups have finite palindromic width. Finally, we show that solvable groups satisfying the maximal condition on normal subgroups (max-n) have finite palindromic width.

연구 동기 및 목표

• 유한 팔린드롬 폭을 가진 $G$에 대해 $G \wr \mathbb{Z}^r$의 유한 팔린드롬 폭을 확립하는 것.
• 이전 결과에 의존하지 않는, 모든 유한 생성 메타아벨 군이 유한 팔린드롬 폭을 가짐을 자가 일관된 증명으로 보여주는 것.
• 정규부분군에 대해 최대조건(max-n)을 만족하는 유한 생성 가해군이 유한 팔린드롬 폭을 가짐을 보여주는 것.

제안 방법

• 유한 지지 함수를 $\mathbb{Z}^r$에 대해 대칭 성분으로 분해하여 $G \wr \mathbb{Z}^r$에서 팔린드롬 폭의 상한을 유도하는 것.
• 함수를 $\mathbb{Z}^r$에서 군으로 보내는 것을 두 개의 대칭 함수의 곱으로 표현하는 데 사용되는 보조정리 2.1을 도입하고 증명하는 것.
• 반환값 함수와 왜곡 대칭 분해를 사용하여 대칭 함수 곱에 관한 결과를 일반화하는 것.
• 메타아벨 군에서 교환자 표현을 Akhavan-Malayeri의 보조정리를 통해 활용하여 도출부분군에서 팔린드롬 길이의 상한을 구하는 것.
• 팔린드롬 길이의 코너지 변환 불변성을 활용하여 정규부분군에서 길이를 제어하는 것.
• 아벨화 $G/G'$에서의 유한 팔린드롬 폭과 도출부분군 $G'$에서의 유한 팔린드롬 길이를 조합하여 전체 군에서의 유한 팔린드롬 폭을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $G$가 유한 팔린드롬 폭을 가질 때, $G \wr \mathbb{Z}^r$는 유한 팔린드롬 폭을 가지는가? 그리고 그에 대한 날것 있는 상한은 무엇인가?
• RQ2 이전 결과에 의존하지 않는, 유한 생성 메타아벨 군의 유한 팔린드롬 폭을 자가 일관된 증명으로 확립할 수 있는가?
• RQ3 정규부분군에 대해 최대조건(max-n)을 만족하는 유한 생성 가해군은 어떤 유한 생성 집합에 대해 유한 팔린드롬 폭을 가질까?
• RQ4 유한 생성 군에서 유한 교환자 폭과 유한 팔린드롬 폭 사이에 관계가 존재하는가?
• RQ5 표준 생성집합에 대해 랭크 $r$인 자유 메타아벨 군의 팔린드롬 폭은 얼마인가?

주요 결과

• $S$가 $\mathbb{Z}^r$의 표준 생성집합일 때, $A \cup S$에 관한 $G \wr \mathbb{Z}^r$의 팔린드롬 폭은 $3r + \mathrm{PW}(G,A)$ 이하이다.
• $r=1$일 때, $G \wr \mathbb{Z}$의 팔린드롬 폭은 $2 + \mathrm{PW}(G,A)$ 이하이며, $\mathbb{Z} \wr \mathbb{Z}$의 경우 정확히 3로 등호가 성립한다.
• 이 논문은 Bardakov & Gongopadhyay의 이전 작업에 의존하지 않는, 모든 유한 생성 메타아벨 군이 유한 팔린드롬 폭을 가짐을 자가 일관된 증명으로 제공한다.
• 최대조건(max-n)을 만족하는 유한 생성 가해군은 교환자 및 코너지 변환을 통한 도출계열 원소의 팔린드롬 길이 상한을 구하여, 유한 팔린드롬 폭을 가짐을 보였다.
• max-n 조건을 만족하는 유한 생성 가해군 $G$의 아벨화 $G/G'$는 최소 생성집합의 크기와 같은 유한 팔린드롬 폭을 가진다.
• 이 결과는 유한 팔린드롬 폭을 가지지만 유계 생성이 아닌 군의 존재를 시사하며, 예를 들어 $\mathbb{Z} \wr \mathbb{Z}$는 그 예이다.