[논문 리뷰] Pansu pullback and exterior differentiation for Sobolev maps on Carnot groups

Bruce Kleiner, Stefan Müller외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 13.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 21인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 m-스텝 카노우 군에서 유한한 m차 모멘트를 가진 확률 측도에 대해 일반화된 Buser-Karcher 중심 질량을 수립함으로써, 소볼레프 맵에 대한 개선된 모티프리케이션과 Pansu 당김 근사화를 가능하게 한다. 주요 기여는 더 약한 소볼레프 지수 가정 하에 강화된 당김 정리로서, 카노우 군 간 사상에 대한 향상된 강성 및 구조적 결과를 이끌어내며, 2단계 이상의 경우에 대한 정칙 사상에의 응용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We show that in an $m$-step Carnot group, a probability measure with finite $m^{th}$ moment has a well-defined Buser-Karcher center-of-mass, which is a polynomial in the moments of the measure, with respect to exponential coordinates. Using this, we improve the main technical result of our previous paper concerning Sobolev mappings between Carnot groups; as a consequence, a number of rigidity and structural results from recent papers hold under weaker assumptions on the Sobolev exponent. We also give applications to quasiregular mappings, extending earlier work in the $2$-step case to general Carnot groups.

연구 동기 및 목표

• m-스텝 카노우 군에서 유한한 m차 모멘트를 가진 확률 측도, 심지어 비유계 지지 집합이 있는 경우에도 Buser-Karcher 중심 질량을 일반화한다.
• 일반화된 중심 질량을 사용하여 m-스텝 카노우 군으로의 L^m_loc 맵에 대한 모티프리케이션 과정을 개발한다.
• 소볼레프 지수 요구 조건을 완화시켜 카노우 군 간 소볼레프 맵에 대한 Pansu 당김 정리를 강화한다.
• 이전 연구에서의 강성 및 구조적 결과를 더 약한 정규성 가정으로 확장한다.
• 2단계 카노우 군에서의 정칙 사상 응용 결과를 일반 카노우 군으로 일반화한다.

제안 방법

• m-스텝 카노우 군에서 유한한 m차 모멘트를 가진 측도에 대해 ∫ log_com_ν dν = 0 조건을 통해 일반화된 Buser-Karcher 중심 질량을 도입한다.
• log(com_ν)가 log_x0 하에서의 이미지 측도의 모멘트에 대한 다항식임을 증명함으로써 명시적 계산 가능성을 확보한다.
• 일반화된 중심 질량을 사용하여 m-스텝 카노우 군으로의 L^m_loc 맵에 대한 모티프리케이션 과정을 구축한다.
• 특정 가중치 및 적분 가능성 조건 하에서, 일반 당김 f_ρ^*ω ∧ η 가 L^s_loc(U) 내에서 Pansu 당김 f_P^*ω ∧ η 로 수렴함을 확립한다.
• 미분형식의 가중치 wt(ω)와 도메인 군의 동차 차원 ν 를 사용하여 수렴을 제어한다.
• 이 approximation 결과를 적용하여 [KMX20] 및 관련 연구에서의 강성 및 구조 정리가 더 낮은 소볼레프 지수로 확장됨을 보이고, 정칙 사상 결과를 고차수 카노우 군으로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Buser-Karcher 중심 질량은 m-스텝 카노우 군에서 비유계 지지 집합을 가진 확률 측도로까지 확장될 수 있는가?
• RQ2 일반화된 중심 질량을 통해 m-스텝 카노우 군으로의 소볼레프 맵에 대한 잘 정의된 모티프리케이션 과정이 가능해지는가?
• RQ3 소볼레프 지수 요구 조건을 완화시킴으로써 Pansu 당김 정리를 강화할 수 있는가?
• RQ4 카노우 군 간 소볼레프 맵에 대한 강성 및 구조적 결과는 어느 정도의 약한 적분 가능성 가정 하에서도 유지되는가?
• RQ5 2단계 카노우 군에서의 정칙 사상 결과는 향상된 당김 프레임워크를 사용하여 일반 카노우 군으로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 유한한 m차 모멘트를 가진 확률 측도에 대해 m-스텝 카노우 군 내에서 Buser-Karcher 중심 질량은 존재하고 유일하다.
• 중심 질량의 로그는 임의의 log_x0 하에서의 이미지 측도의 모멘트에 대한 다항식이므로 명시적 계산이 가능하다.
• 일반화된 중심 질량을 사용하여 m-스텝 카노우 군으로의 L^m_loc 맵에 대한 모티프리케이션 과정이 구축되었으며, 이는 매끄러운 근사화를 제공한다.
• 가중치, 적분 가능성 및 소볼레프 지수에 대한 제시된 조건 하에서, 일반 당김 f_ρ^*ω ∧ η 는 L^s_loc(U) 내에서 Pansu 당김 f_P^*ω ∧ η 로 수렴한다.
• 향상된 당김 정리 덕분에 [KMX20] 및 관련 연구에서의 강성 및 구조적 결과가 더 낮은 소볼레프 지수로 확장될 수 있다.
• 정칙 사상에 대한 응용 결과는 2단계에서 일반 카노우 군으로 확장되었으며, 이는 이전의 결과들 [Res89, HH97, Vod07b] 를 일반화한다.