[논문 리뷰] Parabolic Catalan numbers count flagged Schur functions; Convexity of tableau sets for Demazure characters

Robert A. Proctor, Matthew J. Willis|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 19.

Advanced Combinatorial Mathematics인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 {1,...,n}의 순서 있는 분할로, 블록 크기가 부분집합 R ⊆ [n−1]에서 유도된 312-피回避 R-순열을 세는 것으로서 파라볼릭 카탈란 수를 도입한다. 이 수들이 서로 다른 플래그된 슈어 함수를 세며, Demazure 문자열 테이블라우 집합의 볼록성 조건을 규명하여, 볼록성이 정확히 312-피回避 R-순열일 때 성립함을 보여준다. 핵심 기여는 깊은 조합론적 공명이다: 플래그된 슈어 함수와 Demazure 문자열이 정확히 인덱싱 순열이 312-피回避일 때 일치하며, 이는 정수 격자에서의 볼록성 수준에서 테이블라우 집합이 일치함을 의미한다.

ABSTRACT

Shuffles are n-multipermutations with suit multiplicities given by a subset R of {1,..,n-1}. Their inverses are ordered partitions of {1,..,n} whose block sizes derive from R. These "R-permutations" depict the min length coset reps for the quotient of S_n by the parabolic subgroup W_J, with J the complement of R. We refer to those that blockwise avoid the pattern 312 as "312-avoiding R-permutations" and define the "parabolic R-Catalan number" to be the number of them. Let lambda be a partition of N with at most n parts whose set of shape column lengths less than n is R. We show that the number of flagged Schur functions formed on the shape of lambda is this parabolic R-Catalan number, and list over a dozen other phenomena that are enumerated by it. Let pi be an R-permutation. We view the Demazure character (key polynomial) indexed by (lambda,pi) as the sum of the content weight monomials for our "pi-Demazure" semistandard tableaux of shape lambda with entries from {1,..,n}. We show that the set of these tableaux is convex in Z^N if and only if pi is a 312-avoiding R-permutation. A flagged Schur function is the sum of the content weight monomials for the semistandard tableaux of shape lambda whose entries are row-wise bounded by a given weakly increasing n-tuple. We consider general row bound sums for which the bounds may be any n-tuple. Reiner and Shimozono and then Postnikov and Stanley obtained results concerning coincidences between flagged Schur functions and Demazure characters: when lambda is strict, the flagged Schur functions exactly coincide with the 312-avoiding Demazure characters. For general lambda we introduce precise indexing sets of n-tuple bounds for the row bound sums. This and our convexity results are used to sharpen their coincidence results, to extend them to general row bound sums, and to show they hold at the deeper level of coinciding underlying tableau sets.

연구 동기 및 목표

• 312-피回避 R-순열을 통해 새로운 조합론적 객체인 R-파라볼릭 카탈란 수를 정의하고 세는 것.
• 플래그된 슈어 함수와 Demazure 문자열 간의 정확한 대응 관계를 규명하여, 그 기초가 되는 테이블라우 집합이 일치하는 조건을 규명하는 것.
• ℤ^N에서의 Demazure 테이블라우 집합의 볼록성을 특성화하고, 이것이 인덱싱 R-순열이 312-피回避일 때에만 성립함을 보이는 것.
• 플래그된 슈어 함수의 행 경계 합의 색인을 '구멍 없는 R-튜플'을 사용해 정밀화하여, 312-피回避 R-순열과 이중사상하는 것.
• Reiner, Shimozono, Postnikov, Stanley의 이전 결과를 확장하고 정밀화하여, 플래그된 슈어 함수와 Demazure 문자열 간의 일치를 다항식 수준을 넘어서 테이블라우 집합 수준에서 다루는 것.

제안 방법

• R-순열을 {1,...,n}의 순서 있는 분할로 정의하며, 이는 블록 크기가 부분집합 R ⊆ [n−1]에서 유도되며, S_n / W_J에서 최소 길이의 코스레프레젠테이브로 대응된다. 여기서 J = [n−1] ∓ R이다.
• R-순열에 대해 'R-312-피回避'를 도입하여, 전통적인 순열에서의 312 패턴 피回避를 일반화하고, 이러한 순열의 수로 파라볼릭 R-카탈란 수를 정의한다.
• R-랭킹 사상(R-ranking map)을 사용하여 312-피回避 R-순열과 플래그된 슈어 함수의 가장 효율적인 행 경계 합 색인을 제공하는 '구멍 없는 R-튜플' 사이의 이중사상을 구성한다.
• 입력이 [n]이고 내용 무게 다항식이 (λ, π)로 인덱싱된 Demazure 문자열에 해당하는 'π-Demazure' 반표준 양의 점진적 표를 정의하고, 이 집합이 ℤ^N에서 볼록임은 π가 312-피回避일 때에만 성립함을 증명한다.
• 플래그된 슈어 함수와 Demazure 문자열이 다항식으로 일치함과 동시에, 인덱싱 순열이 312-피回避일 때 그 기초가 되는 테이블라우 집합까지도 일치함을 보이며, 볼록성과 색인 정밀화를 활용한다.
• Gessel-Viennot 행렬식 공식을 적용하여 서로 다른 플래그된 슈어 함수와 Demazure 문자열을 세며, 그 수가 정확히 파라볼릭 R-카탈란 수와 일치함을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 파라볼릭 R-카탈란 수의 조합론적 해석은 무엇이며, 고전적 카탈란 수를 어떻게 일반화하는가?
• RQ2 플래그된 슈어 함수와 Demazure 문자열이 다항식으로 일치하는 조건은 무엇이며, 이 일치는 그 기초가 되는 테이블라우 집합 수준으로 강화될 수 있는가?
• RQ3 주어진 형상 λ에 대해 π-Demazure 테이블라우 집합이 ℤ^N에서 볼록이 되는 조건은 무엇이며, 이는 인덱싱 순열 π의 패턴 피回避와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 서로 다른 플래그된 슈어 함수를 얻는 데 가장 효율적인 행 경계 합 색인 체계는 무엇이며, 이는 312-피回避 R-순열과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 Reiner, Shimozono, Postnikov, Stanley의 플래그된 슈어 함수와 Demazure 문자열 간의 일치 결과는 일반적인 행 경계 합과 테이블라우 집합의 볼록성 수준에서 어떻게 확장되고 정밀화되는가?

주요 결과

• 주어진 형상 λ에서 열 길이가 n 미만이며, 그 집합이 R를 이루는 플래그된 슈어 함수의 수는 정확히 파라볼릭 R-카탈란 수이며, 이는 312-피回避 R-순열의 수와 일치한다.
• π-Demazure 테이블라우 집합이 ℤ^N에서 볼록임은 π가 R-순열로서 312-피回避일 때에만 성립하며, 패턴 피回避와 볼록성 간의 깊은 구조적 연결 고리를 확립한다.
• 플래그된 슈어 함수와 Demazure 문자열이 다항식으로 일치하는 것은 π가 312-피回避일 때에만 성립하며, 이 일치는 다항식 수준을 넘어서 동일한 테이블라우 집합 수준까지 확장된다.
• 서로 다른 플래그된 슈어 함수를 얻는 데 가장 효율적인 행 경계 합 색인 체계는 R-랭킹 사상에 의해 312-피回避 R-순열과 이중사상되며, 이로써 '구멍 없는 R-튜플'이 생성된다.
• 총 파라볼릭 카탈란 수 C_n^Σ는 312-피回避 R-순열 외에도 오른쪽 클럽 삭제 체인, 열 길이가 n 미만인 서로 다른 열 길이를 가진 구멍 없는 열, 그리고 SL(n)/P_J에서 Demazure 테이블라우가 볼록인 슈베르트 다양체를 모두 세며 포함한다.
• 이 논문은 Reiner, Shimozono, Postnikov, Stanley의 이전 결과를 확장하고 정밀화하는 통합 프레임워크를 제공하며, 그들의 일치가 우연이 아니라 볼록성과 패턴 피回避에 뿌리를 두고 있는 깊은 조합론적 동치성에서 비롯됨을 보여준다.