[논문 리뷰] Parabolic-elliptic chemotaxis model with space-time dependent logistic sources on $\mathbb{R}^N$. I. Persistence and asymptotic spreading

Rachidi B. Salako, Wenxian Shen|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 18.

Mathematical Biology Tumor Growth참고 문헌 26인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^N$ 위에서 시공간에 의존하는 로지스틱 항을 갖는 타원-포물선형 화학유인 시스템을 연구하여 전역 존재성과 고전적 해의 행동을 확립한다. 해의 점별 및 균일한 지속성과 함께 날카로운 확산 속도 $c_*^-$ 및 $c_*^+$를 도출하며, 컴팩트 지지 또는 프론트 유사 초깃값을 갖는 해가 유한하고 비영인 속도로 확산됨을 보여주며, $c < c_*^-$인 경우 전파가 발생하고 $c > c_*^+$인 경우 감쇠가 일어남을 밝힌다. 본 결과는 로지스틱 항이 포함된 화학유인 모델에 대한 이전 연구를 비자기적이고 공간적으로 비균일한 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

The current series of three papers is concerned with the asymptotic dynamics in the following chemotaxis model $$\partial_tu=Δu-χ abla(u abla v)+u(a(x,t)-ub(x,t))\ ,\ 0=Δv-λv+μu \ \ (1)$$where $χ, λ, μ$ are positive constants, $a(x,t)$ and $b(x,t)$ are positive and bounded. In the first of the series, we investigate the persistence and asymptotic spreading. Under some explicit condition on the parameters, we show that (1) has a unique nonnegative time global classical solution $(u(x,t;t_0,u_0),v(x,t;t_0,u_0))$ with $u(x,t_0;t_0,u_0)=u_0(x)$ for every $t_0\in R$ and every $u_0\in C^{b}_{ m unif}(R^N)$, $u_0\geq 0$. Next we show the pointwise persistence phenomena in the sense that, for any solution $(u(x,t;t_0,u_0),v(x,t;t_0,u_0))$ of (1) with strictly positive initial function $u_0$, then$$00$ such that$$m\le u(x,t+t_0;t_0,u_0)\le M\ \forall\,t\ge T(u_0),\ x\in R^N.$$We then discuss the spreading properties of solutions to (1) with compactly supported initial and prove that there are positive constants $0c_+^*,$$and$$\liminf_{t o\infty}\sup_{|x|\le ct}u(x,t+t_0;t_0,u_0)&gt;0, \ \forall 0

연구 동기 및 목표

• 시공간에 의존하는 로지스틱 항을 갖는 타원-포물선형 화학유인 시스템의 전역 존재성과 고전적 해의 유계성을 $\mathbb{R}^N$ 상에서 확립한다.
• 일반적인 시공간에 의존하는 로지스틱 항 하에서 해의 점별 및 균일한 지속성을 조사한다.
• 콤팩트 지지 또는 프론트 유사 초깃값을 갖는 해의 渐近 확산 속도를 특성화한다.
• 시스템 매개변수 $\chi, \lambda, \mu, a(x,t), b(x,t)$ 에 대해 확산 속도의 명시적 하한 및 상한을 유도한다.

제안 방법

• 조건 $b_{\inf} > \chi\mu$ 하에서 비교 원리와 사전 추정을 이용하여 고전적 해의 전역 존재성과 유계성을 확립한다.
• 일반적인 상수 계수를 갖는 단순한 스칼라 반응-확산 방정식의 해와 비교하기 위해 포물형 방정식에 대한 비교 원리를 적용한다.
• 장기적 행동을 제어하기 위해 이동파 유형 함수를 기반으로 상한 및 하한 해를 정의한다.
• 단위 벡터 $\xi$ 방향에서의 해의 장기적 행동을 분석하기 위해 초깃값을 이동시키고 국소 균일 위상에서 아르체라-아스콜리 정리 및 안정성 논증을 사용한다.
• 확산 속도 $c_*^-$ 및 $c_*^+$를 $\varepsilon$-의존적 속도 $c_\varepsilon^*$ 가 $\varepsilon \to 0$ 일 때의 극한을 취하여 도출하며, 날카로운 渐近 확산 속도를 얻는다.
• 최대 원리와 에너지 추정을 적용하여 해와 그 기울기를 제어함으로써 지속성 및 확산 행동을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시공간에 의존하는 로지스틱 항을 갖는 타원-포물선형 화학유인 시스템이 $\mathbb{R}^N$ 상에서 유일한 전역 고전적 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 엄격히 양인 초깃값을 갖는 해는 점별 및 균일한 지속성을 보이며, 그에 대한 균일한 하한 및 상한은 무엇인가?
• RQ3 콤팩트 지지 초깃값을 갖는 해의 渐近 확산 속도는 무엇이며, 시스템 매개변수에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 프론트 유사 초깃값을 갖는 해는 다양한 공간 방향으로 어떻게 확산되며, 전파의 최소 속도는 무엇인가?
• RQ5 시스템 매개변수 $a(x,t), b(x,t), \chi, \lambda, \mu$ 에 대해 확산 속도의 날카로운 상한 및 하한을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 비음성 유계 및 균일 연속인 초깃함수 $u_0$ 에 대해 $b_{\inf} > \chi\mu$ 를 만족할 경우, 시스템은 유일한 비음성 전역 고전적 해를 갖는다.
• 엄격히 양인 초깃값을 갖는 해는 모든 $t \geq 0$, $x \in \mathbb{R}^N$ 에 대해 $m(u_0) \leq u(x,t+t_0;t_0,u_0) \leq M(u_0)$ 를 만족하며, 이는 점별 지속성을 증명한다.
• 해는 균일 지속성을 보인다: 임의의 엄격히 양인 $u_0$ 에 대해 $T(u_0) > 0$ 이 존재하여 모든 $t \geq T(u_0)$ 에 대해 $m \leq u(x,t+t_0;t_0,u_0) \leq M$ 이 성립하며, $m, M > 0$ 이고 $u_0$ 와 무관하다.
• 콤팩트 지지 초깃값을 갖는 해는 날카로운 확산 속도로 확산된다: 모든 $c > c_+^*$ 에 대해 $\lim_{t \to \infty} \sup_{|x| \geq ct} u(x,t+t_0;t_0,u_0) = 0$, 그리고 모든 $0 < c < c_-^*$ 에 대해 $\liminf_{t \to \infty} \sup_{|x| \leq ct} u(x,t+t_0;t_0,u_0) > 0$ 이다.
• 프론트 유사 초깃값을 갖는 해는 $\xi$ 방향으로 확산되며, 모든 $0 < c < c_*^*$ 에 대해 $\liminf_{t \to \infty, x \cdot \xi \leq ct} u(x,t+t_0;t_0,u_0) > 0$ 이다. 여기서 $c_*^*$ 는 $a_{\inf}, a_{\sup}, b_{\inf}, b_{\sup}, \chi, \mu, \lambda, N$ 에 대해 명시적으로 유계된다.
• 확산 속도는 $0 < c_-^*(a,b,\chi,\lambda,\mu) \leq c_+^*(a,b,\chi,\lambda,\mu) < \infty$ 를 만족하며, 이는 $c_+^*$ 초과 시 감쇠가 발생하고 $c_-^*$ 이하 시 지속성이 유지됨을 의미하는 날카로운 경계이다.