[논문 리뷰] Parabolic equations with measurable coefficients in $L_p$-spaces with mixed norms

Doyoon Kim|ArXiv.org|2007. 05. 25.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $L_{q,p}$ 혼합 노름을 갖는 소볼레프 공간에서 두 번째 순서 포아송 방정식의 유일한 해법을 확립한다. 여기서 계수 $a^{ij}$ (단, $a^{11}$ 제외)는 시간과 한 개의 공간 변수에 대해 가측적이며 나머지 공간 변수들에 대해는 평균 진동이 0인(VMO) 성질을 가지며, $a^{11}$은 한 개의 공간 변수에 대해 가측적이며 나머지 시간과 공간 변수들에 대해 VMO 성질을 갖는다. 핵심 결과는 이러한 최소한의 정규성 조건 하에서 해에 대한 사전 $W^{1,2}_{q,p}$-추정을 확립하는 것으로, 임베딩 정리들을 통해 개선된 호일더 연속성 확보가 가능하다.

ABSTRACT

The unique solvability of parabolic equations in Sobolev spaces with mixed norms is presented. The second order coefficients (except $a^{11}$) are assumed to be only measurable in time and one spatial variable, and VMO in the other spatial variables. The coefficient $a^{11}$ is measurable in one spatial variable and VMO in the other variables.

연구 동기 및 목표

• 비발산 형식이 아닌 포아송 방정식의 $L_{q,p}$ 혼합 노름을 갖는 소볼레프 공간에서의 유일한 해법을 확립한다.
• 계수들이 시간과 한 개의 공간 변수에 대해서만 가측적이며 나머지 변수들에 대해 VMO 성질을 갖는 경우에 대해 $L_{q,p}$-이론을 확장한다.
• 계수에 대한 최소한의 정규성 조건 하에서 $W^{1,2}_{q,p}$-공간에서의 사전 추정을 제공한다.
• 큰 $q$ 값을 사용한 임베딩 정리들을 통해 해의 정(regular) 성질, 예를 들어 호일더 연속성을 향상시킬 수 있도록 한다.

제안 방법

• 시간과 공간 변수의 혼합 노름을 갖는 소볼레프 공간인 $L_{q,p}$의 프레임워크를 사용하여 포아송 방정식을 분석한다. 여기서 $q > p \geq 2$이다.
• 혼합 정규성 조건을 도입한다: $i\neq1$ 또는 $j\neq1$인 경우 계수 $a^{ij}$는 $(t,x^1)$에 대해 가측적이며 $x'\in\mathbb{R}^{d-1}$에 대해 VMO 성질을 갖는다. 반면 $a^{11}$은 $x^1$에 대해 가측적이며 $(t,x')$에 대해 VMO 성질을 갖는다.
• 카판라토 타입 추정과 최대 함수 기법을 활용하여 두 번째 순서 도함수의 진동을 제어하는 사전 추정을 적용한다.
• 연산자를 $L_0$과 $L_1$으로 분해하여 $x^1$-의존 부분을 분리하고, 이전 연구 결과(예: [9])에서 얻은 추정을 적용한다.
• 스케일링 추론과 커버링 타입 추정을 사용하여 $u_{xx}$의 $L_{q,p}$-노름을 $L_0u$와 $u_{xx'}$의 $L_{q,p}$-노름으로 제어한다.
• 백트래킹 추론 기법을 사용한다: 먼저 VMO와 가측성 조건을 활용해 $u_{xx'}$를 추정하고, 그 다음 방정식의 구조와 두 번째 추정을 통해 $u_{x^1x^1}$을 복구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수가 시간과 한 개의 공간 변수에 대해서만 가측적이며 나머지 변수들에 대해 VMO 성질을 갖는 경우, 포아송 방정식에 대해 유일한 해법을 확립할 수 있는가?
• RQ2 해에 대한 $W^{1,2}_{q,p}$-추정을 확보하기 위해 계수 $a^{ij}$에 요구되는 최소한의 정규성 조건은 무엇인가?
• RQ3 비연속 계수를 갖는 방정식에 대해, 모든 공간 변수들에 대해 균일하게 VMO가 아니더라도 혼합 노름 $L_{q,p}$-이론을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 약한 계수 가정 하에서 $L_{q,p}$-프레임워크를 사용하여 해의 개선된 정규성, 예를 들어 호일더 연속성을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• $q > p \geq 2$ 이고 $f \in L_{q,p}((0,T)\times\mathbb{R}^d)$ 이면, $u \in W^{1,2}_{q,p}((0,T)\times\mathbb{R}^d)$ 인 유일한 해 $u$가 존재하며, $u(T,x) = 0$ 이다.
• 계수 $a^{ij}$ (단, $a^{11}$ 제외)는 $(t,x^1)$에 대해 가측적이며 $x'\in\mathbb{R}^{d-1}$에 대해 VMO 성질을 갖는다. 반면 $a^{11}$은 $x^1$에 대해 가측적이며 $(t,x')$에 대해 VMO 성질을 갖는다.
• 콤팩트 지지가 있는 시간에 대해 사전 추정 $\|u_{xx}\|_{L_{q,p}} \leq N\|L_0u\|_{L_{q,p}}$ 가 성립하며, 이때 $N$ 은 $d$, $p$, $q$, $\delta$, 그리고 VMO 모듈러스 $\omega$ 에 따라 달라진다.
• 이 추정은 먼저 카판라토 타입 추정을 사용해 $\|u_{xx'}\|_{L_{q,p}}$ 를 유계로 제어하고, 그 다음 방정식의 구조와 두 번째 추정을 통해 $\|u_{x^1x^1}\|_{L_{q,p}}$ 를 복구함으로써 달성된다.
• 이 추정에서 상수 $N$ 은 $\omega(R)$ 에 따라 달라지며, $R$ 을 작게, $\kappa$ 를 크게 선택함으로써 고차항을 $1/2$ 이하로 만들 수 있다. 이는 닫힌 추정을 유도한다.
• 이 결과는 임베딩 정리를 활용하여 해의 호일더 연속성을 유도할 수 있도록 하며, 이는 [3] 및 본 논문의 보조정리 5.6에서 확인된다.