[논문 리뷰] Parabolic Harnack inequality of viscosity solutions on Riemannian manifolds

Soojung Kim, Ki-Ahm Lee|arXiv (Cornell University)|2013. 04. 27.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 섹션 곡률이 아래에서 유계인 리만 다양체 위에서 비선형 균일 포물선형 미분방정식의 비음성 점성 해에 대해 포물선형 하르나크 부등식을 수립한다. Krylov-Safonov 접근법을 내재 기하 도구인 포물선형 정규 맵과 Pucci 극한 작용소를 사용하여 재구성함으로써, 우측항에 곡률과 적분 가능성 조건을 가정할 경우 하르나크 부등식을 증명하며, 이는 고전 결과를 다样的체의 점성 해 프레임워크로 확장한다.

ABSTRACT

We consider viscosity solutions to nonlinear uniformly parabolic equations in nondivergence form on a Riemannian manifold $M$, with the sectional curvature bounded from below by $-κ$ for $κ\geq 0$. In the elliptic case, Wang and Zhang \cite{WZ} recently extended the results of \cite{Ca} to nonlinear elliptic equations in nondivergence form on such $M$, where they obtained the Harnack inequality for classical solutions. We establish the Harnack inequality for nonnegative {\it viscosity solutions} to nonlinear uniformly {\it parabolic equations} in nondivergence form on $M$. The Harnack inequality of nonnegative viscosity solutions to the elliptic equations is also proved.

연구 동기 및 목표

• 비선형 균일 포물선형 미분방정식의 점성 해에 대해 Krylov-Safonov 하르나크 부등식을 섹션 곡률이 유계인 리만 다용체로 확장하는 것.
• 소스 항에 대한 적분 가능성 조건과 섹션 곡률의 하한 조건 하에서 비음성 점성 해에 대해 하르나크 부등식을 수립하는 것.
• 고전적 해에 대한 이전 결과들을 곡률 제약 조건이 있는 다용체에서 점성 해 프레임워크로 일반화하는 것.
• 리만 다용체에서 포물선형 정규 맵과 같은 내재 기하 구조를 사용하여 포물선형 ABP-Krylov-Tso 추정치를 개발하는 것.
• 유사한 기하학적 및 적분 가능성 가정 하에 포물선형 방정식의 타원형 대응 방정식에 대해 하르나크 부등식을 증명하는 것.

제안 방법

• 전역 아핀 구조의 부재를 다루기 위해 아핀 함수 대신 제곱 거리 함수를 사용하여 Krylov-Safonov 접근법을 리만 다용체에 적응시키는 것.
• AFS, Z의 프레임워크를 사용하여 리만 다용체에서 점성 해를 정의함으로써 점성 해 이론을 비유클리드 설정으로 확장하는 것.
• 균일 타원성을 특징짓기 위해 Pucci의 극한 작용소를 사용하여 추적 작용소를 대체함으로써 비선형성을 다룰 수 있도록 하는 것.
• 상한 및 하한 컨볼루션 기법을 사용하여 점성 해를 매끄러운 함수로 근사시키고, 극한에서 PDE 부등식을 유지하는 것.
• 포물선형 정규 맵 $\Phi(x,t) := \left(\exp_x(\nabla_x u), -\frac{1}{2}d^2(x,\exp_x(\nabla u)) - u(x,t)\right)$ 를 구성하고 그 자코비안 행렬식을 계산하여 ABP 유형 추정치를 도출하는 것.
• Bishop와 Gromov의 체적 비교 정리에 기반한 커버링 추론을 적용하여 측도 성장률을 통제하고 하르나크 부등식을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 섹션 곡률이 유계인 리만 다용체에서 비선형 균일 포물선형 미분방정식의 점성 해에 대해 Krylov-Safonov 하르나크 부등식을 확장할 수 있는가?
• RQ2 아핀 함수에 의존하지 않고, 리만 다용체에서 고전적 ABP 추정치와 그 포물선형 대응을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 내재 포물선형 정규 맵이 곡률이 있는 다용체에서 하르나크 유형 추정치 유도에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 소스 항 $f$ 와 곡률에 대해 하르나크 부등식이 점성 해에 대해 유지되기 위한 조건는 무엇인가?
• RQ5 유사한 기하학적 및 적분 가능성 가정 하에 타원형 하르나크 부등식이 점성 해에 대해 얼마나 널리 적용 가능한가?

주요 결과

• 논문은 섹션 곡률이 아래에서 $-\kappa$ 로 유계인 리만 다용체 위에서 비선형 균일 포물선형 미분방정식의 비음성 점성 해에 대해 포물선형 하르나크 부등식을 수립한다.
• 핵심 결과로는 $\left(\fint_{B_{2R}(x_0)} |R^2 f^+|^{n\theta}\right)^{1/(n\theta)} \leq \epsilon_0$ 를 만족하고 $\theta = 1 + \log_2 \cosh(8\sqrt{\kappa}R_0)$ 라면, 양의 밀도 하한 $\mu_0 > 0$ 를 가진 하르나크 부등식이 성립함을 보인다.
• 하르나크 부등식은 내재 포물선형 정규 맵과 그 자코비안 행렬식을 사용한 포물선형 ABP-Krylov-Tso 추정치를 통해 증명된다.
• 저자들은 곡률과 적분 가능성 조건이 만족될 경우 점성 해 클래스 $\overline{\mathcal{S}}_P(\lambda,\Lambda,f)$ 가 하르나크 부등식을 만족함을 보였다.
• 유사한 추론 기반 체적 비교 및 커버링 기법을 사용하여 동일한 기하학적 가정 하에 점성 해에 대한 타원형 하르나크 부등식도 수립하였다.
• 증명은 inf-convolution을 통해 점성 해를 매끄러운 함수로 근사시키고, 근사화된 해에 대해 균일 하르나크 추정치를 적용한 후 극한으로 보내는 데 기반한다.