[논문 리뷰] Parabolic Set Simulation for Reachability Analysis of Linear Time Invariant Systems with Integral Quadratic Constraint

Paul Rousse, Pierre-Loïc Garoche외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 28.

Fault Detection and Control Systems참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 선형 시간 불변(LTI) 시스템의 타당성 분석을 위해 적분 제곱 제약(IQC)을 고려한 파라볼로이드 집합 시뮬레이션 방법을 제안한다. 이 방법은 시간에 따라 변화하는 파라볼로이드 과소근사법을 사용하여 도달 가능한 집합의 경계에 접하는 해를 구하는 미분 리카티 방정식(DRE)의 초기값 문제를 해결함으로써, 안정적이고 확장 가능하며 경계가 정해진 과소근사법을 제공한다. 이는 복잡한 제약 조건을 다룰 때 기존 타원형 방법보다 뛰어난 성능을 발휘한다.

ABSTRACT

This work extends reachability analyses based on ellipsoidal techniques to Linear Time Invariant (LTI) systems subject to an integral quadratic constraint (IQC) between the past state and disturbance signals , interpreted as an input-output energetic constraint. To compute the reachable set, the LTI system is augmented with a state corresponding to the amount of energy still available before the constraint is violated. For a given parabolic set of initial states, the reachable set of the augmented system is overapproximated with a time-varying parabolic set. Parameters of this paraboloid are expressed as the solution of an Initial Value Problem (IVP) and the overapproximation relationship with the reachable set is proved. This paraboloid is actually supported by the reachable set on so-called touching trajectories. Finally , we describe a method to generate all the supporting paraboloids and prove that their intersection is an exact characterization of the reachable set. This work provides new practical means to compute overapproximation of reachable sets for a wide variety of systems such as delayed systems, rate limiters or energy-bounded linear systems.

연구 동기 및 목표

• 지연, 속도 제한기, 에너지 한계 등을 모델링하는 적분 제곱 제약(IQC)을 가진 LTI 시스템에 대해 효과적인 도달 가능한 집합 특성화의 부족을 해결하기 위해.
• 타원형 방법을 초월하여 비볼록 및 불안정 시스템을 포함한 IQC 하에서 집합 기반 시뮬레이션 기법을 확장하기 위해.
• 파라볼로이드 래핑을 사용하여 도달 가능한 집합의 유한한 과소근사법을 보장하는 확장 가능하고 수치적으로 안정된 방법을 개발하기 위해.
• HJB 및 모멘트 기반 방법이 확장성 문제로 인해 실패하는 대규모 시스템에서 실용적인 타당성 분석을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• IQC의 적분 항을 나타내는 상태를 LTI 시스템에 추가하여 제약 조건을 상태공간 형태로 변환한다.
• 도달 가능한 집합의 시간에 따라 변화하는 파라볼로이드 과소근사법을 구성하며, 이는 IQC를 만족하는 '접선 궤적'을 따라 도달 가능한 집합의 경계에 접한다.
• 각 파라볼로이드의 매개변수는 도달 가능한 집합에 대한 타이트함과 접촉을 보장하기 위해 미분 리카티 방정식(DRE)의 초기값 문제(IVP)의 해로부터 유도된다.
• 도달 가능한 집합은 불가측한 많은 수의 이러한 지지 파라볼로이드의 교차로 표현되며, 실용적인 과소근사법을 위해 유한한 부분집합이 사용된다.
• 부호가 정해지지 않은 경우에도 적용 가능한, 찬드라세카르 방법 기반의 수치적 적분 기법을 변형하여 DRE를 해석한다.
• 계산 효율성을 향상시키기 위해 계산된 파라볼로이드들의 교차를 둘러싸는 최소 부피의 파라볼로이드를 계산하는 알고리즘을 개발한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 파라볼로이드 과소근사법은 IQC 제약 조건 하에서 타당성 분석에 있어 타원형 방법보다 더 타이트하고 확장 가능한 대안이 될 수 있는가?
• RQ2 시간에 따라 변화하는 파라볼로이드는 어떻게 매개변수화할 수 있는가? 이는 도달 가능한 집합의 경계에 접촉하면서도 적분 제곱 제약 조건을 만족하도록 보장해야 한다.
• RQ3 불안정한 LTI 시스템에 대해 IQC 하에서 과소근사법의 유계성과 존재성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 기존의 HJB 또는 모멘트 기반 방법이 계산상의 비가용성으로 인해 실패하는 대규모 시스템을 다룰 수 있도록 이 방법을 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ5 이 방법은 다중 IQC 또는 2-노름과 ∞-노름 혼합 제약 조건을 가진 시스템으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 이 방법은 시간에 따라 변화하는 파라볼로이드를 사용하여 IQC 제약 조건이 있는 LTI 시스템의 도달 가능한 집합을 성공적으로 과소근사한다. 불안정한 시스템의 경우에도 마찬가지로 성능을 발휘한다.
• 도달 가능한 집합은 각각 접선 궤적에 해당하는 불가측한 많은 수의 지지 파라볼로이드의 교차로 정확히 표현된다.
• 스케일링 함수와 초기 매개변수의 철저한 선택을 통해 과소근사법의 경계가 보장된다.
• 수치적 결과는 시스템 상태 수가 100개 이하일 경우 이 방법이 HJB 및 모멘트 기반 방법보다 계산 효율성이 뛰어나게 확장됨을 보여준다.
• 구현은 오픈소스이며, 부호가 정해지지 않은 경우에도 적용 가능한 수정된 찬드라세카르 방법을 사용하여 DRE를 해석한다.
• 최소 부피를 가진 둘러싸는 파라볼로이드 계산이 가능하여 계산 비용을 줄이면서도 타이트함을 유지한다.