[논문 리뷰] Parabolic smoothing effect and local well-posedness of fifth order semilinear dispersive equations on the torus

Kotaro Tsugawa|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 29.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 19인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 비선형 항의 구조와 관련된 파라볼릭 스무딩 효과를 도입함으로써 토러스 위에서 제5형 비선형 분산 방정식의 국소 적으로 잘 정의된 문제를 확립한다. 비선형성의 비율 조건이 기능적 $ P_N $ 에 의해 정의될 때, 해는 시간 전역적으로 존재하며 완전한 정칙성을 보인다; 반면, 그렇지 않은 경우 해는 오직 앞으로 또는 뒤로만 존재하며, 파라볼릭 유사 스무딩 효과를 보이며, 파라볼릭 공명의 경우 거친 초기 자료에 대해 해가 존재하지 않음을 보인다.

ABSTRACT

We consider the Cauchy problem of fifth order dispersive equations on the torus. We assume that the initial data is sufficiently smooth and the nonlinear term is a polynomial depending on $\partial_x^3 u, \partial_x^2 u, \partial_x u$ and $u$. We prove that the local well-posedness holds on $[-T,T]$ when the nonlinear term satisfies a condition and otherwise, the local well-posedness holds with a smoothing effect only on either $[0,T]$ or $[-T,0]$ and nonexistence result holds on the other time interval, which means that the nonlinear term can not be treated as a perturbation of the linear part and the equation has a property of parabolic equations by an influence of the nonlinear term. As a corollary, we also have the same results for $(2j+1)$-st order dispersive equations.

연구 동기 및 목표

• 부드러운 초기 자료를 가진 토러스 위에서 제5형 비선형 분산 방정식의 국소 적으로 잘 정의된 문제를 분석한다.
• 비선형 항을 기능적 $ P_N $ 에 기반해 분류하여 비파라볼릭 및 파라볼릭 공명 유형을 구분한다.
• 다양한 공명 조건 하에서 존재성, 유일성 및 초기 자료에 대한 연속적 의존성을 확립한다.
• 파라볼릭 공명이 시간에 비대칭적인 해와 파라볼릭 PDE 유사 스무딩 효과를 유도함을 보여준다.

제안 방법

• 해의 도함수를 최대 3차까지 고려하여 비선형 항 $ N $ 의 공명 구조를 기록하는 기능적 $ P_N(f) $ 를 정의한다.
• 이 기능적을 통해 비선형성을 비파라볼릭 공명 유형($ P_N \not\to 0 $) 또는 파라볼릭 공명 유형($ P_N \to 0 $)으로 분류한다.
• 주파수 공간에서 비선형 상호작용을 제어하기 위해 에너지 추정과 정규형 방법을 사용한다.
• 4차 비압축성 항을 포함한 파라볼릭 정규화 접근법을 적용하여 스무딩 추정을 도출한다.
• 소볼레프 공간에서 에너지 방법과 반복 기법을 조합하여 시간 국소 존재성과 유일성을 확립한다.
• 해의 시간 정칙성에 기반해 모순을 이용하여 파라볼릭 공명의 경우 거친 초기 자료에 대해 해가 존재하지 않음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 항에 어떤 조건이 성립할 경우 제5형 분산 방정식이 양의 및 음의 시간 간격 모두에서 국소 적으로 잘 정의된 문제를 갖는가?
• RQ2 기능적 $ P_N $ 이 해가 파라볼릭 스무딩을 보이는지 아니면 표준 분산 행동을 보이는지를 어떻게 결정하는가?
• RQ3 초기 자료가 부드럽지 않고 비선형성이 파라볼릭 공명 유형일 경우 해는 어떻게 되는가?
• RQ4 파라볼릭 공명 영역에서 해를 복원하기 위해 방정식을 정규화할 수 있는가?
• RQ5 존재성과 스무딩의 시간 비대칭성은 $ P_N(\varphi) $ 의 부호에 따라 달라지는가?

주요 결과

• 비파라볼릭 공명 유형($ P_N \equiv 0 $)의 경우, $ s \geq 13 $ 에서 $ [-T,T] $ 에서 해가 존재하며, $ C([-T,T];H^s) $ 에 속하고 초기 자료에 대해 연속적인 의존성을 보인다.
• 파라볼릭 공명 유형($ P_N \not\equiv 0 $)의 경우, $ P_N(\varphi) > 0 $ 이면 $ [0,T] $ 에서, $ P_N(\varphi) < 0 $ 이면 $ [-T,0] $ 에서 해가 존재하며, 구간 내부에서 $ C^\infty $ 정칙성을 갖는다.
• 파라볼릭 공명의 경우 해는 초기 자료가 오직 $ H^s $ 에만 속하더라도, $ (0,T] $ 또는 $ [-T,0) $ 에서 $ C^\infty $ 가 된다.
• 초기 자료가 거칠며($ \varphi \not\in C^\infty $), $ P_N(\varphi) < 0 $ 이면 $ C([0,T];H^{13}) $ 에서, $ P_N(\varphi) > 0 $ 이면 $ C([-T,0];H^{13}) $ 에서 해가 존재하지 않음을 증명한다.
• 파라볼릭 정규화 방법을 통해 (2j+1)차 분산 방정식으로 결과를 확장하였으며, 잘 정의된 문제성과 스무딩에서 동일한 이분기 현상이 나타남을 보였다.
• 시간 간격 $ T $ 는 $ P_N(\varphi) $ 와 $ \|\varphi\|_{H^{12}} $ 에 의존하며, 이는 공명 효과의 강도에 따라 달라짐을 나타낸다.