[논문 리뷰] Parabolic subgroups acting on the additional length graph

Yago Antolín, María Cumplido|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 01.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 16인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 A1, A2, I2m를 제외한 기하학적 유형의 비가역 아르틴-티츠 군에 대해 주기적 원소와 포물선 부분군을 보존하는 원소들이 추가 길이 그래프(CAL(A))에서 타원적으로 작용함을 증명한다. 이 결과를 바탕으로, 임의의 진부분 표준 포물선 부분군 P에 대해 자유곱 ⟨P, g*⟩ ≅ P ∗ ⟨g*⟩를 만족하는 일관되게 유계된 가르시드 길이를 가진 원소 g*를 구성하며, 브레인드 군에서 가르시드 생성자에 대한 지수적 성장률이 무한대로 발산함을 증명한다 — 이는 아르틴 생성자에 대한 행동과 뚜렷하게 대비된다.

ABSTRACT

Let A ≠ A1;A2;I2m be an irreducible Artin–Tits group of spherical type. We show that the periodic elements of A and the elements preserving some parabolic subgroup of A act elliptically on the additional length graph CAL(A), a hyperbolic, infinite diameter graph associated to A constructed by Calvez and Wiest to show that A/Z(A) is acylindrically hyperbolic. We use these results to find an element g ∈ A such that <P,g> ≅ P * <g> for every proper standard parabolic subgroup P of A. The length of g is uniformly bounded with respect to the Garside generators, independently of A. This allows us to show that, in contrast with the Artin generators case, the sequence ω(An,S)(with n ∈ N) of exponential growth rates of braid groups, with respect to the Garside generating set, goes to infinity.

연구 동기 및 목표

• 기하학적 유형의 비가역 아르틴-티츠 군으로 브레인드 군에 대한 칼레브스와 와이스트의 결과를 일반화한다.
• 주기적 원소와 포물선 부분군을 보존하는 원소들이 추가 길이 그래프 CAL(A)에서 타원적으로 작용함을 증명한다.
• 모든 진부분 표준 포물선 부분군 P에 대해 자유곱 ⟨P, g*⟩ ≅ P ∗ ⟨g*⟩를 만족하는 일관되게 유계된 가르시드 길이를 가진 단일 원소 g*를 구성한다.
• 아르틴-티츠 군이 가르시드 생성자에 대해 지수적 성장률이 무한대로 발산함을 보이며, 아르틴 생성자에 대한 유한한 성장과 대비됨을 나타낸다.

제안 방법

• 비가역성과 궤도 직경 유계를 사용하여, 주기적 원소와 포물선 부분군을 보존하는 원소들이 CAL(A)에서 타원적으로 작용함을 증명한다.
• CAL(A)의 일관된 초구형 상수와 궤도 직경 유계를 활용하여, 모든 진부분 포물선 부분군에 대해 공통의 자유곱 보완 g*를 구성한다.
• 가르시드 생성자에 대한 아르틴-티츠 군의 카일리 그래프에 대한 부분군의 등급 매핑을 활용한다.
• 성장 급수와 페케테의 보조정리를 적용하여 부분군과 전체 군의 상대적 성장률을 비교한다.
• 자기 동형 ⟨AX, g*⟩ ≅ AX ∗ ⟨g*⟩를 활용하여 전체 군의 성장률에 하한을 도출한다.
• 급수 1 − αx − x^K의 근을 적용하여 지수적 성장률에 하한을 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 기하학적 유형의 비가역 아르틴-티츠 군(A1, A2, I2m 제외)에 대해 주기적 원소와 포물선 부분군을 보존하는 원소들이 추가 길이 그래프 CAL(A)에서 타원적으로 작용하는가?
• RQ2 모든 진부분 표준 포물선 부분군 P에 대해 ⟨P, g*⟩ ≜ P ∗ ⟨g*⟩를 만족하는 일관되게 유계된 가르시드 길이를 가진 단일 원소 g*를 찾을 수 있는가?
• RQ3 브레인드 군 An이 가르시드 생성자 집합에 대해 성장률이 n이 증가함에 따라 무한대로 발산하는가?
• RQ4 가르시드 생성자에 대해 진부분 포물선 부분군의 상대적 성장률은 전체 아르틴-티츠 군과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ5 가르시드 생성자에 대해 전체 군과 그 포물선 부분군의 성장률 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 기하학적 유형의 비가역 아르틴-티츠 군(A1, A2, I2m 제외)에서 주기적 원소와 복소수의 단체를 보존하는 원소들은 추가 길이 그래프 CAL(A)에서 타원적으로 작용한다.
• 모든 이러한 아르틴-티츠 군 A에 대해, 가르시드 길이가 최대 K인 원소 g* ∈ A+가 존재하여, 모든 진부분 표준 포물선 부분군 AX에 대해 ⟨g*, AX⟩ ≅ ⟨g*⟩ ∗ AX를 만족한다.
• 모든 진부분 포물선 부분군 AX에 대해 가르시드 생성자 집합에 대한 상대적 지수적 성장률은 전체 군 A의 성장률보다 엄밀히 작다: ω(AX, S±1A) < ω(A, S±1A).
• 브레인드 군에 대해 가르시드 생성자 집합에 대한 지수적 성장률의 수열 {ω(An, S±1An)}n∈N은 엄밀히 증가하고 유계가 아니며, 무한대로 발산한다.
• 동일한 발산 성질은 양의 원소의 모노이드에도 적용된다: {ω(A+n, SAn)}n∈N은 엄밀히 증가하고 유계가 아니다.
• 자유곱 ⟨AX, g*⟩의 성장률은 AX의 성장률보다 엄밀히 크며, 이 하한은 전체 군의 크가 증가함에 따라 증가하여 전체 성장률의 발산을 이끈다.