[논문 리뷰] Paradoxes of differential nonlocal cantilever beams: Reasons and a novel solution

Mohamed Shaat, S. Faroughi외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 02.

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures참고 문헌 42인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 반복 비국소 잔차 방법을 도입하여 미분 비국소 캔틸레버 빔 모델의 역설을 해결한다. 이 방법은 반복적으로 형성된 비국소 잔차를 통해 국소 경계 조건을 적용한다. 이 방법은 적분 비국소 모델과 동일한 결과를 산출하여 정적弯曲 및 자유 진동 해석에서 비국소 경계 조건 설정의 모순를 효과적으로 제거한다.

ABSTRACT

The paradoxes of differential nonlocal models have been attributed to the inconsistency in forming the nonlocal boundary conditions. To overcome these paradoxes, nonlocal boundary conditions should be correctly formed. However, still forming these boundary conditions for differential nonlocal models is a challenging task. To resolve the trouble, in this study, the iterative nonlocal residual approach is employed. In the context of this approach, the field equation is solved in the local field with an imposed nonlocal residuals. This nonlocal residual is iteratively formed (not determined) depending on a pre-determined local field. The iterative nonlocal residual approach permits applying the local boundary conditions. Thus, the paradoxes of differential nonlocal models due to the nonlocal boundary conditions are effectively solved. The paradoxes of differential nonlocal models and reasons behind them are discussed. Moreover, a nonlocal beam model based on the iterative nonlocal residual approach is proposed. This nonlocal beam model is employed to investigate the static bending and free vibration of differential nonlocal cantilever beams. Comparisons between the results of the iterative nonlocal residual approach and results of integral nonlocal beam models are carried out. It is demonstrated that the iterative nonlocal residual approach gives the same results as integral nonlocal models.

연구 동기 및 목표

• 미분 비국소 빔 모델에서 비일관된 비국소 경계 조건으로 인해 발생하는 역설을 규명하고 해결하기.
• 기존의 미분 비국소 수식에 기인한 모순을 피할 수 있는 비국소 경계 조건 설정을 위한 강력한 방법 개발하기.
• 반복 비국소 잔차 방법에 기반한 비국소 빔 모델을 제안하여 국소 경계 조건과의 호환성을 유지하기.
• 기존의 확립된 적분 비국소 빔 모델과의 비교를 통해 제안된 방법의 정확성과 일관성 검증하기.
• 캔틸레버 빔의 정적 비틀림 및 자유 진동 문제에서 이 방법의 효능을 입증하기.

제안 방법

• 반복 비국소 잔차 방법은 국소 영역에서의 장 방정식을 해결하면서 사전에 정해진 국소 장으로부터 반복적으로 유도된 비국소 잔차를 적용한다.
• 비국소 잔차는 직접 지정되지 않고, 국소 장 반응에 기반해 반복적으로 계산된다.
• 국소 경계 조건을 직접 적용함으로써 부호화된 비국소 경계 조건 설정이 필요 없어진다.
• 수렴이 달성될 때까지 잔차 항을 반복적으로 정밀화함으로써 비국소 효과의 일관성을 확보한다.
• 이 방법은 캔틸레버 빔의 정적 비틀림 및 자유 진동 해석을 위한 비국소 빔 모델에 구현된다.
• 정확성과 일관성을 검증하기 위해 결과를 적분 비국소 빔 모델과 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 미분 비국소 모델이 캔틸레버 빔 문제에서 역설적인 결과를 도출하는가?
• RQ2 왜 미분 비국소 모델 내에서 비국소 경계 조건 설정이 비일관성이 발생하는가?
• RQ3 비국소 수식의 단순성은 유지하면서도 역설을 피할 수 있는 비국소 빔 모델을 개발할 수 있는가?
• RQ4 반복 비국소 잔차 방법이 적분 비국소 모델과 동일한 결과를 도출하는가?
• RQ5 제안된 방법은 비국소 캔틸레버 빔의 정적 비틀림 및 자유 진동 해석에서 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 반복 비국소 잔차 방법은 반복 잔차를 통한 비국소 효과의 정확한 설정으로 인해, 미분 비국소 캔틸레버 빔에서의 역설을 성공적으로 제거한다.
• 이 방법은 국소 경계 조건을 직접 적용할 수 있어 오랫동안 지속된 비국소 경계 조건의 비일관성 문제를 해결한다.
• 반복 비국소 잔차 방법의 결과는 적분 비국소 빔 모델에서 도출된 결과와 수치적으로 완전히 일치한다.
• 제안된 비국소 빔 모델은 다양한 하중 및 경계 조건 하에서 캔틸레버 빔의 정적 처짐과 고유 진동수를 정확하게 예측한다.
• 이 방법은 정적 비틀림 및 자유 진동 해석 모두에서 뛰어난 안정성과 일관성을 보이며, 신뢰성을 입증한다.
• 이 연구는 역설의 근본 원인이 비국소 적분 연산자 자체가 아니라 잘못된 비국소 경계 조건 설정에 있음을 확인한다.