[논문 리뷰] Parallel Approximate Undirected Shortest Paths Via Low Hop Emulators

Alexandr Andoni, Clifford Stein외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 05.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 55인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무방향 그래프에 대해 $(1+\epsilon)$-근사 최단경로 알고리즘을 제안하며, 깊이 $\operatorname{poly}(\log n)$, 작업량 $m\operatorname{poly}(\log n)$을 갖는다. 이는 25년간 미해결이었던 문제를 해결한다. 저자는 저항거리(emulators)를 도입하여 $O(\log\log n)$ 이내의 경로 길이를 갖는 그래프를 구성하고, Sherman의 프레임워크 내에서 압축 가능한 조건부 조건자(preconditioners)를 사용하여 근사 최적의 작업량과 깊이를 달성한다.

ABSTRACT

We present a $(1+\varepsilon)$-approximate parallel algorithm for computing shortest paths in undirected graphs, achieving $\mathrm{poly}(\log n)$ depth and $m\mathrm{poly}(\log n)$ work for $n$-nodes $m$-edges graphs. Although sequential algorithms with (nearly) optimal running time have been known for several decades, near-optimal parallel algorithms have turned out to be a much tougher challenge. For $(1+\varepsilon)$-approximation, all prior algorithms with $\mathrm{poly}(\log n)$ depth perform at least $Ω(mn^{c})$ work for some constant $c>0$. Improving this long-standing upper bound obtained by Cohen (STOC'94) has been open for $25$ years. We develop several new tools of independent interest. One of them is a new notion beyond hopsets --- low hop emulator --- a $\mathrm{poly}(\log n)$-approximate emulator graph in which every shortest path has at most $O(\log\log n)$ hops (edges). Direct applications of the low hop emulators are parallel algorithms for $\mathrm{poly}(\log n)$-approximate single source shortest path (SSSP), Bourgain's embedding, metric tree embedding, and low diameter decomposition, all with $\mathrm{poly}(\log n)$ depth and $m\mathrm{poly}(\log n)$ work. To boost the approximation ratio to $(1+\varepsilon)$, we introduce compressible preconditioners and apply it inside Sherman's framework (SODA'17) to solve the more general problem of uncapacitated minimum cost flow (a.k.a., transshipment problem). Our algorithm computes a $(1+\varepsilon)$-approximate uncapacitated minimum cost flow in $\mathrm{poly}(\log n)$ depth using $m\mathrm{poly}(\log n)$ work. As a consequence, it also improves the state-of-the-art sequential running time from $m\cdot 2^{O(\sqrt{\log n})}$ to $m\mathrm{poly}(\log n)$.

연구 동기 및 목표

• 무방향 그래프에서 병렬 근사 최단경로 계산에 대해 $\operatorname{poly}(\log n)$ 깊이와 $m\operatorname{poly}(\log n)$ 작업량을 달성하는 데 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결한다.
• 이전의 $\operatorname{poly}(\log n)$-깊이 알고리즘들이 $(1+\epsilon)$-근사에서 $\Omega(mn^c)$ 작업량에 봉착한 장벽을 극복한다.
• 효율적인 병렬 계산을 가능하게 하는 새로운 알고리즘 도구—특히 저항거리와 압축 가능한 조건부 조건자—를 개발한다.
• 무용량 최소비용 흐름 문제에 대한 순차적 실행 시간을 $m \cdot 2^{O(\sqrt{\log n})}$ 에서 $m\operatorname{poly}(\log n)$ 으로 향상시킨다.

제안 방법

• 저항거리의 개념을 도입한다: $\operatorname{poly}(\log n)$-근사 거리를 유지하면서, 모든 최단경로가 최대 $O(\log\log n)$개의 경로 단계를 갖는 그래프.
• 저항거리를 사용하여 $\operatorname{poly}(\log n)$-근사 SSSP, Bourgain의 임bedding, 메트릭 트리 임bedding, 저저항 분해 알고리즘을 설계하며, $\operatorname{poly}(\log n)$ 깊이와 $m\operatorname{poly}(\log n)$ 작업량을 확보한다.
• Sherman의 프레임워크를 사용하여 무용량 최소비용 흐름(전송 문제)을 처리하기 위해, 근사 오차를 줄이고 효율적인 병렬화를 가능하게 하는 압축 가능한 조건부 조건자를 도입한다.
• 랜덤 경로 샘플링과 반복적 흐름 계산을 조합하고, $\Theta(\epsilon^{-1}\log n)$번 반복하여 성공 확률을 높여 고확률 정확성을 확보한다.
• 귀납법과 기대값 분석을 활용하여 계산된 경로의 기대 무게를 유한하게 제한하여, 이가 진짜 최단경로 거리의 $(1+\epsilon)$ 이내임을 보인다.
• 매 반복에서 정점 수를 최소한 반으로 줄이는 재귀적 수축 기법을 사용하여 깊이와 작업량의 하한을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 병렬 알고리즘이 $\operatorname{poly}(\log n)$ 깊이와 $m\operatorname{poly}(\log n)$ 작업량으로 $(1+\epsilon)$-근사 최단경로를 계산할 수 있는가?
• RQ2 호프셋을 초월하여 효율적인 병렬 근사 최단경로 계산을 가능하게 하는 그래프의 구조적 특성은 무엇인가?
• RQ3 압축 가능한 조건부 조건자를 사용하여 병렬 모델에서 근사 흐름 계산과 최단경로 근사 간 격차를 메울 수 있는가?
• RQ4 작업량과 깊이가 $\operatorname{poly}(\log n)$ 이내인 저항거리로 $\operatorname{poly}(\log n)$-근사 거리를 유지할 수 있는가?
• RQ5 새로운 프레임워크를 사용할 때 무용량 최소비용 흐름 문제를 해결하는 순차적 시간 복잡도는 얼마인가?

주요 결과

• 논문은 25년간 미해결이었던 문제를 해결하여, $\operatorname{poly}(\log n)$ 깊이와 $m\operatorname{poly}(\log n)$ 작업량을 갖는 최초의 병렬 $(1+\epsilon)$-근사 최단경로 알고리즘을 제시한다.
• 저항거리는 $\operatorname{poly}(\log n)$-근사 SSSP, Bourgain의 임bedding, 메트릭 트리 임bedding, 저저항 분해를 $\operatorname{poly}(\log n)$ 깊이와 $m\operatorname{poly}(\log n)$ 작업량으로 병렬 계산할 수 있게 한다.
• 알고리즘은 예상 $\epsilon^{-3}m\operatorname{poly}(\log(n\Lambda))$ 작업량을 사용하여 $\epsilon^{-2}\operatorname{poly}(\log(n\Lambda))$ 병렬 시간 내에 $(1+\epsilon)$-근사 무용량 최소비용 흐름을 계산하며, 확률 최소 0.99로 정확하다.
• 새로운 프레임워크를 사용하여 무용량 최소비용 흐름 문제의 순차적 실행 시간은 $m \cdot 2^{O(\sqrt{\log n})}$ 에서 $m\operatorname{poly}(\log n)$ 으로 향상된다.
• 계산된 경로의 기대 무게는 고확률로 $\mathbb{E}[w(p)] \leq (1+\epsilon) \cdot \operatorname{dist}_G(s,t)$ 를 만족하며, 이는 기본 경로 탐색 서브루틴을 $\Theta(\epsilon^{-1}\log n)$번 반복함으로써 달성된다.
• 분석 결과 기대 경로 무게는 $(1+2\epsilon)^{\lceil \log n \rceil} \cdot \operatorname{dist}_G(s,t)$ 이하로 유한하게 제한되며, 충분히 작은 $\epsilon$ 에 대해 이는 $(1+\epsilon) \cdot \operatorname{dist}_G(s,t)$ 이내이다.