[논문 리뷰] Parallel, Distributed, and Quantum Exact Single-Source Shortest Paths with Negative Edge Weights

Vikrant Ashvinkumar, Aaron Bernstein외 6명|arXiv (Cornell University)|2023. 03. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 가상의 소스를 사용하여 비음수 가중치를 가진 SSSP 알고리즘에 대한 no(1)회의 호출로 환원함으로써, 병렬, 분산, 양자 모델에서 음수 간선 가중치를 가진 정확한 단일 출발점 최단경로(SSSP) 문제를 통합된 프레임워크로 해결한다. 주요 기여는 방향성 그래프에서 저지름 분해(LDD)로의 효율적인 환원으로, 이는 모든 세 모델에서 거의 최적의 워크, 스파나, 라운드 수, 쿼리 복잡도를 달성하며, 현재까지의 도달 가능성 복잡도 상한과 no(1) 요소 이내로 일치한다.

ABSTRACT

This paper presents parallel, distributed and quantum algorithms for single-source shortest paths when edges can have negative weights (negative-weight SSSP). We show a framework that reduces negative-weight SSSP in all these setting to $n^{o(1)}$ calls to any SSSP algorithm that works with a virtual source. More specifically, for a graph with $m$ edges, $n$ vertices, undirected hop-diameter $D$, and polynomially bounded integer edge weights, we show randomized algorithms for negative-weight SSSP with (i) $W_{SSSP}(m,n)n^{o(1)}$ work and $S_{SSSP}(m,n)n^{o(1)}$ span, given access to an SSSP algorithm with $W_{SSSP}(m,n)$ work and $S_{SSSP}(m,n)$ span in the parallel model, (ii) $T_{SSSP}(n,D)n^{o(1)}$, given access to an SSSP algorithm that takes $T_{SSSP}(n,D)$ rounds in $\mathsf{CONGEST}$, (iii) $Q_{SSSP}(m,n)n^{o(1)}$ quantum edge queries, given access to a non-negative-weight SSSP algorithm that takes $Q_{SSSP}(m,n)$ queries in the quantum edge query model. This work builds off the recent result of [Bernstein, Nanongkai, Wulff-Nilsen, FOCS'22], which gives a near-linear time algorithm for negative-weight SSSP in the sequential setting. Using current state-of-the-art SSSP algorithms yields randomized algorithms for negative-weight SSSP with (i) $m^{1+o(1)}$ work and $n^{1/2+o(1)}$ span in the parallel model, (ii) $(n^{2/5}D^{2/5} + \sqrt{n} + D)n^{o(1)}$ rounds in $\mathsf{CONGEST}$, (iii) $m^{1/2}n^{1/2+o(1)}$ quantum queries to the adjacency list or $n^{1.5+o(1)}$ quantum queries to the adjacency matrix. Our main technical contribution is an efficient reduction for computing a low-diameter decomposition (LDD) of directed graphs to computations of SSSP with a virtual source. Efficiently computing an LDD has heretofore only been known for undirected graphs in both the parallel and distributed models.

연구 동기 및 목표

• 음수 간선 가중치를 가진 정확한 단일 출발점 최단경로(SSSP)를 위한 효율적인 병렬, 분산, 양자 알고리즘을 설계하는 것.
• 모든 세 모델에서 음수 가중치 SSSP 문제를 가상의 소스를 사용한 비음수 가중치 SSSP 알고리즘에 대한 no(1)회의 호출로 환원하는 것.
• 방향성 저지름 분해(LDD)에서 비음수 가중치 SSSP로의 새로운 환원을 개발하여, 이러한 모델에서의 효율적 계산을 가능하게 하는 것.
• 이 세 모델에서 도달 가능성의 최고 복잡도 상한과 동일하거나 거의 동일한 복잡도 상한을 달성하는 것. 이는 음수 가중치 SSSP의 향상이 도달 가능성의 향상으로 이어질 수 있음을 암시한다.
• CONGEST 모델에서 개방된 문제를 해결하기 위해, 강한 연결 요소(SCC) 계산을 가상의 소스를 사용한 SSSP로 환원할 수 있음을 보여, [7]에서 제기된 질문에 대해 부정적인 답변을 제공하는 것.

제안 방법

• 가상의 소스를 사용한 비음수 가중치 SSSP 알고리즘에 대한 no(1)회의 호출로 음수 가중치 SSSP 문제를 환원하는 프레임워크를 설계하며, 이는 방향성 저지름 분해(LDD)에서 비음수 가중치 SSSP로의 새로운 환원을 활용한다.
• 방향성 그래프에서 LDD를 계산하는 새로운 알고리즘을 제안하며, 이는 핵심 기술적 기여이며, 모든 세 모델에서의 환원 가능성을 가능하게 한다.
• Bernstein 등 [8]의 스케일링 알고리즘의 재귀적 구조를 재구성하여 병렬 및 분산 환경에 적합하게 조정함으로써, 모델별 특수한 과제를 극복한다.
• 강한 연결 요소(SCC) 계산을 가상의 소스를 사용한 SSSP로 환원하는 효율적인 환원을 설계하였으며, 이는 [7]에서 제기된 질문에 대해 부정적인 답변을 제공한다.
• 각 모델에 맞는 기법을 적용하여 프레임워크를 구현함: 병렬 모델에서는 워크/스파나, CONGEST 모델에서는 라운드 수, 양자 모델에서는 양자 간선 쿼리 수를 사용하며, 모두 no(1)의 오버헤드를 갖는다.
• 정확성과 효율성을 유지하기 위해 최단경로 오라클과 서브루틴 조합(예: ScaleDown, FixDAGEdges, EstDist)을 반복적으로 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 음수 가중치 SSSP는 비음수 가중치 SSSP 알고리즘에 대한 블랙박스 액세스만을 사용하여 병렬, 분산, 양자 모델에서 효율적으로 해결될 수 있는가?
• RQ2 모든 세 모델에서 방향성 저지름 분해(LDD)를 가상의 소스를 사용한 비음수 가중치 SSSP로 환원하는 것이 가능한가?
• RQ3 비음수 가중치 SSSP가 서브루틴으로 제공될 때, 음수 가중치 SSSP를 해결하기 위해 필요한 최소한의 오버헤드(워크, 라운드 수, 쿼리 수 기준)는 얼마인가?
• RQ4 이 세 모델에서 음수 가중치 SSSP의 복잡도를 도달 가능성의 복잡도와 점근적으로 동일하게 만들 수 있는가? (no(1) 요소 이내로)
• RQ5 CONGEST 모델에서 SCC 계산을 가상의 소스를 사용한 SSSP로 환원하는 방법이 [7]에서 제기된 개방 문제를 해결하는가?

주요 결과

• 병렬 모델에서 워크는 m1+o(1), 스파나는 n1/2+o(1)로, 현재까지의 도달 가능성 복잡도 상한과 no(1) 요소 이내로 일치한다.
• CONGEST 모델에서 알고리즘은 (n2/5D2/5 + √n + D)no(1)라운드 내에 수행되며, 이는 현재까지의 최고 도달 가능성 복잡도 상한과 no(1) 요소 이내로 일치한다.
• 양자 모델에서 알고리즘은 인접 리스트에 대해 m1/2n1/2+o(1)회의 쿼리를 수행하거나, 인접 행렬에 대해 n1.5+o(1)회의 쿼리를 수행하며, 알려진 양자 하한선과 no(1) 요소 이내로 일치한다.
• 방향성 LDD 알고리즘은 병렬 및 분산 모델에서 방향성 그래프에 대해 처음으로 효율적인 구성 방법을 제공하며, 이전까지는 무방향 그래프에서만 알려져 있었다.
• CONGEST 모델에서 SCC 계산을 가상의 소스를 사용한 SSSP로 환원하는 방법은 [7]에서 제기된 개방 문제에 대해 부정적인 답변을 제공하며, 그러한 환원이 가능함을 보여준다.
• 이 프레임워크는 이러한 모델에서 음수 가중치 SSSP의 복잡도를 no(1) 요소 이내로 향상시키는 데 성공할 경우, 최고의 도달 가능성 복잡도 상한 향상으로 이어질 것임을 시사한다.