[논문 리뷰] Parallelization of the multi-level hp-adaptive finite cell method

J. Jomo, Nils Zander외 5명|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 03.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 다중 수준 hp-적응 유한체 방법에 대한 새로운 병렬화 전략을 제안하며, 활성 잎 요소 수준에서 작업을 분배하고 공유 메시 데이터 구조를 사용하여 중복된 가상 요소 계산을 피한다. 이 방법은 강한 스케일러비리티를 달성하며, 특히 강성 행렬 통합에서 뛰어난 성능을 보이며, 프로세스당 요소 수가 적은 경우에도 효율적인 대규모 복잡한 기하구조의 시뮬레이션을 가능하게 한다. 생체역학 및 적층 제조 분야에서의 실제 응용에 기여한다.

ABSTRACT

The multi-level hp-refinement scheme is a powerful extension of the finite element method that allows local mesh adaptation without the trouble of constraining hanging nodes. This is achieved through hierarchical high-order overlay meshes, a hp-scheme based on spatial refinement by superposition. An efficient parallelization of this method using standard domain decomposition approaches in combination with ghost elements faces the challenge of a large basis function support resulting from the overlay structure and is in many cases not feasible. In this contribution, a parallelization strategy for the multi-level hp-scheme is presented that is adapted to the scheme's simple hierarchical structure. By distributing the computational domain among processes on the granularity of the active leaf elements and utilizing shared mesh data structures, good parallel performance is achieved, as redundant computations on ghost elements are avoided. We show the scheme's parallel scalability for problems with a few hundred elements per process. Furthermore, the scheme is used in conjunction with the finite cell method to perform numerical simulations on domains of complex shape.

연구 동기 및 목표

• 큰 기저 함수 지지도와 높은 가상 요소 오버헤드로 인해 기존의 다중 수준 hp-적응 유한요소 방법에서 병렬화가 비효율적인 문제를 해결한다.
• 계층적 hp-재분할 구조에서 가상 요소가 비례적으로 많아지는 문제를 해결하기 위해 표준 도메인 분할 기법의 한계를 극복한다.
• 유한체 방법과 다중 수준 hp-적응성을 결합하여 복잡한 기하구조의 효율적이고 확장 가능한 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 다중 수준 구조의 특성을 활용하여 분산 메모리 환경에서의 로드 밸런싱을 향상시키고 메모리 오버헤드를 줄인다.
• 복잡한 영역과 고차원 요소를 포함한 실제 공학 문제에 대한 제안된 병렬화의 실현 가능성과 성능을 입증한다.

제안 방법

• 초기 요소나 정밀화된 요소가 아닌 활성 잎 요소 수준에서 계산 도메인을 분할하여 로드 불균형을 최소화한다.
• 모든 프로세스 간에 공유 메시 데이터 구조를 사용하여 메시 일관성을 유지하고 가상 요소에서의 중복 계산을 방지한다.
• 전역 시스템의 분산 어셈블리 구현을 통해 각 프로세스가 소유한 자유도에만 기여하도록 하여 통신 및 계산 오버헤드를 감소시킨다.
• 계산 비용을 기반으로 통합 영역을 프로세스에 할당하는 로드 밸런싱 알고리즘(알고리즘 1)을 적용하여 균형 잡힌 작업 분배를 확보한다.
• 유한체 방법과 통합하여 암시적 메시 생성 없이도 복잡한 영역에서 고차원, hp-적응 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 계층적 오버레이 메시를 활용하여 임의의 불연속 노드를 가능하게 하고, 위계적 제약 없이 간편한 정밀화/粗화를 구현한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 수준 hp-적응 유한체 방법에 대한 병렬화 전략이 과도한 가상 요소 계산으로 인한 확장성 한계를 피할 수 있는가?
• RQ2 프로세스당 요소 수가 적을 경우(예: 수백 개) 제안된 로드 밸런싱 기법의 성능은 어떠한가?
• RQ3 공유 메시 데이터 구조가 분산 시뮬레이션에서 메시 일관성을 유지하고 메모리 오버헤드를 얼마나 줄이는가?
• RQ4 병렬 기법이 강성 행렬 통합과 같은 가장 계산 비용이 큰 루틴에 미치는 영향은 어떠한가?
• RQ5 고차원 요소와 복잡한 기하구조를 포함한 복잡한 공학 문제의 2D 및 3D 시뮬레이션에서 강한 스케일러비리티를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 병렬화는 강성 행렬 통합 루틴에서 강한 스케일러비리티를 달성하였으며, 각 프로세스가 단 몇백 개의 통합 영역만 처리할 경우 완벽한 스케일러비리티가 관찰되었다.
• 전역 어셈블리 과정은 국소적이지 않은 항목의 통신이 필요하지만 총 계산 시간에 비해 매우 작은 비중을 차지하여 성능에 크게 영향을 주지 않았다.
• 2D 및 3D 모두에서 다양한 문제 크기에서 양호한 병렬 효율성을 보였으며, 복잡한 고차원 문제에서도 스케일러비리티가 유지되었다.
• 공유 메시 데이터와 잎 요소 분배를 통해 기존 방법에서 지배적이 되어 확장성에 악영향을 주는 중복된 가상 요소 계산을 방지하였다.
• 유한체 방법을 활용한 복잡한 영역의 대규모 시뮬레이션을 성공적으로 가능하게 하였으며, 고차원 요소를 사용한 3D 뼈-임플란트 시스템 시뮬레이션을 통해 이를 입증하였다.
• 프로세스 수가 증가함에 따라 프로세스당 메모리 사용량은 감소하지만, 메시 크기가 지배적이 되면 이 추세는 둔화되며, 향후 더 큰 규모로 확장하기 위해 분산 메시 구조가 필요할 것으로 보인다.