[논문 리뷰] Parameter-Dependent S-Procedure And Yakubovich Lemma

Sergei V. Gusev|ArXiv.org|2006. 12. 27.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 매개변수(parameter)가 컴act한 공간을 따라 변할 때 매개변수에 의존하는 선형 행렬 부등식(LMIs)이 연속적인 해를 갖는 조건을 설정한다. 이는 야쿠보비치 보조정리와 S-절차를 매개변수에 의존하는 설정으로 일반화하며, 매개변수 불확실성이 있는 비선형 시스템의 강건 안정성 분석을 위한 매개변수에 의존하는 리아푸노프 함수의 구성 가능성을 보장한다. 주요 기여는 다항식 매개변수에 의존하는 LMIs를 고차원의 매개변수에 의존하지 않는 LMIs로 환원하는 것으로, 이는 비합성의 제곱(sum-of-squares, SOS) 다항식의 양성 확인과 강건 제어 설계에 효과적으로 활용할 수 있다.

ABSTRACT

The paper considers a linear matrix inequality (LMI) that depends on a parameter varying in a compact topological space. It turns out that if a strict LMI continuously depends on a parameter and is feasible for any value of that parameter, then it has a solution which continuously depends on the parameter. The result holds true for LMIs that arise in S-procedure and Yakubovich lemma. It is shown that the LMI which is polynomially dependent on a vector of parameters can be reduced to a parameter-independent LMI of a higher dimension. The result is based on the recent generalization of Yakubovich lemma proposed by Iwasaki and Hara and another generalization formulated in this paper. The problem of positivity verification for a non-SOS polynomial of two variables is considered as an example. To illustrate control applications, a method of parameter-dependent Lyapunov function construction is proposed for nonlinear systems with parametric uncertainty.

연구 동기 및 목표

• 매개변수가 컴 pact한 위상 공간을 따라 변할 때 매개변수에 의존하는 선형 행렬 부등식(LMIs)의 연속적 해의 존재성을 확립하는 것.
• 엄격한 부등식을 위한 손실이 없는 일반화된 S-절차와 야쿠보비치 보조정리를 매개변수에 의존하는 설정으로 확장하는 것.
• 다항식 매개변수에 의존하는 LMIs를 고차원의 매개변수에 의존하지 않는 LMIs로 변환하는 방법을 개발하는 것.
• 매개변수 불확실성이 있는 비선형 시스템의 강건 안정성 분석을 위해 매개변수에 의존하는 리아푸노프 함수를 구성하는 것.
• 유한 차원의 LMI 타당성 문제로 환원함으로써, 합성의 제곱이 아닌 다항식의 양성을 검증하는 것.

제안 방법

• 만약 엄격한 LMI가 컴 pact한 매개변수에 대해 연속적으로 의존하고 모든 매개변수 값에서 타당하다면, 연속적인 해가 존재함을 증명한다.
• 일반화된 야쿠보비치 보조정리와 S-절차를 매개변수에 의존하는 주파수 도메인 부등식에 적용하여 연속적인 라그랑주 승수의 존재를 보장한다.
• 계수 벡터화와 선형 사상에 의해 다항식 매개변수에 의존하는 LMIs를 고차원의 매개변수에 의존하지 않는 LMIs로 환원한다.
• MATLAB의 LMI 툴박스를 사용하여 감소된 LMI 시스템을 풀어 비-SOS 다항식의 양성을 수치적으로 검증한다.
• 매개변수 불확실성이 있는 비선형 시스템의 경우 매개변수에 의존하는 LMI 시스템을 풀어 매개변수에 의존하는 리아푸노프 함수를 구성한다.
• 이차 제약 조건을 LMI 타당성 문제로 변환하기 위해 S-절차에 기반한 허용 기법을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개변수에 의존하는 LMI가 컴 pact한 매개변수 집합에 대해 연속적으로 의존할 때, 어떤 조건에서 연속적인 해가 존재하는가?
• RQ2 매개변수에 의존하는 부등식으로 일반화된 S-절차와 야쿠보비치 보조정리가 손실이 없는 방식으로 유지될 수 있는가?
• RQ3 다항식 매개변수에 의존하는 LMI는 어떻게 고차원의 매개변수에 의존하지 않는 LMI로 변환할 수 있는가?
• RQ4 이 프레임워크는 합성의 제곱으로 표현될 수 없는 다항식의 양성을 검증할 수 있는가?
• RQ5 매개변수 불확실성이 있는 비선형 시스템의 강건 안정성 분석을 위해 매개변수에 의존하는 리아푸노프 함수를 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 엄격하게 타당하고 매개변수에 대해 연속적으로 의존하는 LMI는 컴 pact한 매개변수 집합에서 연속적인 해를 갖는다. 이는 제어 적용에서의 강건성을 보장한다.
• 매개변수에 의존하는 S-절차와 야쿠보비치 보조정리는 매개변수 의존성이 연속적이고 부등식이 엄격할 경우 손실이 없다.
• 다항식 매개변수에 의존하는 LMIs는 계수 벡터화와 선형 사상에 의해 단일의 고차원 매개변수에 의존하지 않는 LMI로 환원될 수 있다.
• 이 방법은 다항식 $ x^4y^2 + x^2y^4 - 3x^2y^2 + 1 + 10^{-11} $ 가 모든 실수 $ x, y $ 에서 양수임을 성공적으로 검증하였다.
• 이 방법은 다항식으로 변화하는 시스템 행렬과 매개변수 불확실성이 있는 비선형 시스템에 대해 매개변수에 의존하는 리아푸노프 함수의 구성이 가능하게 한다.
• LMI 툴박스를 사용한 수치 실험은 감소된 LMI 시스템의 타당성이 매우 높은 정확도로 확인되었다.