[논문 리뷰] Parameter estimation for fractional Ornstein-Uhlenbeck processes of general Hurst parameter

Yaozhong Hu, David Nualart외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 28.

Stochastic processes and financial applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반 히어스트 파라미터 $H \in (0,1)$ 를 가진 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 분수 오르누이에이프 프로세스의 드리프트 및 볼륨 파라미터에 대한 통계적 추정기들을 개발한다. 볼륨을 추정하기 위해 고차항 파wr 변량을 도입하고, 모든 $H$ 범위에서 드리프트 파라미터의 최소제곱 추정기의 거의확실 수렴성과 중심 또는 비중앙 극한정리들을 확립하여 이전 연구에서 남아 있던 열린 문제를 완전히 해결한다.

ABSTRACT

This paper provides several statistical estimators for the drift and volatility parameters of an Ornstein-Uhlenbeck process driven by fractional Brownian motion, whose observations can be made either continuously or at discrete time instants. First and higher order power variations are used to estimate the volatility parameter. The almost sure convergence of the estimators and the corresponding central limit theorems are obtained for all the Hurst parameter range $H\in (0, 1)$. The least squares estimator is used for the drift parameter. A central limit theorem is proved when the Hurst parameter $H \in (0, 1/2)$ and a noncentral limit theorem is proved for $H\in[3/4, 1)$. Thus, the open problem left in the paper by Hu and Nualart (2010) is completely solved, where a central limit theorem for least squares estimator is proved for $H\in [1/2, 3/4)$.

연구 동기 및 목표

• 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 분수 오르누이에이프 프로세스의 드리프트 및 볼륨 파라미터에 대한 일致하고 점근적으로 정규분포를 따르는 추정기들을 개발하는 것.
• 통합 볼륨 추정에 있어 이전의 제약 조건 $H \leq 3/4$ 를 제거하는 것.
• 모든 $H \in (0,1)$ 범위에서 드리프트 파라미터 $\theta$ 의 최소제곱 추정기의 중심 및 비중앙 극한정리를 확립하여 이전 연구에서 남아 있던 열린 문제를 해결하는 것.
• 연속 관측 및 이산 관측 모두에 적용 가능한 통합된 통계적 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 통합 볼륨 $\int_0^T |\sigma_s|^p ds$ 를 추정하기 위해 고차항 파워 변량 $V^{n}_{k,p}(X)_T = \sum_{i=1}^{[nT]-k+1} \left| \sum_{j=0}^k (-1)^{k-j} \binom{k}{j} X_{(i+j-1)/n} \right|^p$ 을 사용한다.
• 다중 위너-아이토 카오스 적분에 대한 네 번째 모멘트 정리와 중심극한정리를 적용하여 볼륨 추정기의 점근적 정규성을 도출한다.
• 스토크라호드 의미에서 정의된 스트로크 적분을 사용하여 최소제곱 추정기 $\hat{\theta}_T = - \frac{\int_0^T X_t dX_t}{\int_0^T X_t^2 dt}$ 를 적용한다.
• 콤���트 시간 간격에서의 균일한 수렴성을 통해 볼륨 추정기의 거의확실 수렴성을 확립한다.
• 정적 해를 분석하고 에르고딕 정리를 적용하기 위해 $X_t = \sigma \int_0^t e^{-\theta(t-s)} dB_s^H + e^{-\theta t} \xi$ 와 $\xi = \sigma \int_{-\infty}^0 e^{\theta s} dB_s^H$ 의 표현을 사용한다.
• 프리칸드의 정리에 따라 $Y_t$ 의 공분산 구조를 적용하여 모든 $H \in (0,1)$ 에 대해 $Y_T / T^\alpha \to 0$ 이 거의확실하게 성립함을 증명함으로써 에르고딕성 논증을 뒷받침한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $H \in (0,1)$ 에서 고차항 파워 변량을 사용하여 분수 오르누이에이프 프로세스의 통합 볼륨을 일관되게 추정할 수 있는가? 이는 이전의 제약 조건 $H \leq 3/4$ 를 초월하는가?
• RQ2 드리프트 파라미터 $\theta$ 의 최소제곱 추정기의 점근적 분포는 $H \in (0,1/2)$ 일 때 어떻게 되는가?
• RQ3 드리프트 파라미터의 점근적 행동은 $H \in [3/4,1)$ 일 때 어떻게 변화하며, 비중앙 극한정리를 확립할 수 있는가?
• RQ4 볼륨 추정기의 거의확실 수렴성은 시간에 대해 균일하고, 콤팩트 간격에서의 확률에 대해 성립하는가?

주요 결과

• 고차항 파워 변량 추정기 $|\hat{\sigma}_T|^p = \frac{n^{-1+pH} V^{n}_{k,p}(X)_T}{c_{k,p} T}$ 는 $n \to \infty$ 일 때, 콤팩트 시간 간격에서의 균일한 확률에 대해 $|\sigma|^p$ 로 거의확실하게 수렴한다.
• 모든 $H \in (0,1)$ 에서 볼륨 추정기의 중심극한정리가 확립되며, 점근 분산은 $c_{k,p}$ 와 로젠블라트 분포의 네 번째 누적모멘트에 의존한다.
• 드리프트 파라미터의 최소제곱 추정기 $\hat{\theta}_T$ 는 $H \in (0,1/2)$ 일 때 중심극한정리가 성립하며, $\sqrt{T}(\hat{\theta}_T - \theta) \xrightarrow{d} N(0, \sigma^2 \theta^{-1} / (2H-1)(4H-3))$ 로 수렴한다.
• $H \in [3/4,1)$ 일 때, $\sqrt{T}(\hat{\theta}_T - \theta)$ 의 극한분포는 비정규분포이며, 로젠블라트 랜덤 변수로 수렴하며, $H$ 와 $\theta$ 에 의존하는 명시적 분산 표현식을 가진다.
• 에르고딕 정리에 따르면, 모든 $H \in (0,1)$ 에 대해 $T \to \infty$ 일 때 $\frac{1}{T} \int_0^T X_t^2 dt \to \sigma^2 \theta^{-2H} H \Gamma(2H)$ 가 거의확실하게 그리고 $L^2$ 수렴한다.
• 모든 $H \in (0,1)$ 에 대해 $\alpha > 0$ 일 때 $Y_T / T^\alpha \to 0$ 이 거의확실하게 성립함을 증명하였으며, 이는 프로세스 $Y_t$ 의 에르고딕성과 정적성을 뒷받침한다.