[논문 리뷰] Parameter estimation of discretely observed interacting particle systems

Chiara Amorino, Akram Heidari외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 08. 25.

Stochastic processes and financial applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 이산적으로 관측되는 상호작용 입자 시스템에서 McKean-Vlasov SDE에 의해 지배되는 드리프트 및 확산 계수의 동시 추정을 위한 가짜-우도 대비 함수를 제안한다. $\Delta_n \to 0$ 및 $N \to \infty$ 조건 하에서의 동시 점점성에서 추정기는 일致하며, $\Delta_n N \to 0$일 때 점점성 정규분포가 성립하여 비점점적 프레임워크를 비선형 평균장 SDE에서의 추론에 적용한다.

ABSTRACT

In this paper, we consider the problem of joint parameter estimation for drift and diffusion coefficients of a stochastic McKean-Vlasov equation and for the associated system of interacting particles. The analysis is provided in a general framework, as both coefficients depend on the solution of the process and on the law of the solution itself. Starting from discrete observations of the interacting particle system over a fixed interval $[0, T]$, we propose a contrast function based on a pseudo likelihood approach. We show that the associated estimator is consistent when the discretization step ($Δ_n$) and the number of particles ($N$) satisfy $Δ_n ightarrow 0$ and $N ightarrow \infty$, and asymptotically normal when additionally the condition $Δ_n N ightarrow 0$ holds.

연구 동기 및 목표

• 해결책의 법칙에 따라 드리프트 및 확산 계수를 가지는 상호작용 입자 시스템에 대한 통계적 추론 방법의 부족을 다루기 위해.
• 고정된 시간 간격 $[0,T]$ 동안 입자 시스템의 이산 시간 관측 기반으로 매개변수 추정 절차를 개발하기 위해.
• 시간 이산화 및 입자 수의 동시 점점성에서 추정기의 일치성 및 점점성 정규분포를 확립하기 위해.

제안 방법

• 상호작용 입자 시스템의 이산 시간 관측을 바탕으로 한 가짜-우도 접근을 사용하여 대비 함수를 구성한다.
• SDE 계수에서 해의 법칙을 근사하기 위해 경험 측도 $\mu_t^{\theta,N}$ 를 활용한다.
• 이토의 공식과 $L^p$ 범위에서의 모멘트 유계를 적용하여 전이 밀도 근사에서의 이산화 오차를 통제한다.
• 입자 상태 및 경험 측도에 대한 계수와 그 도함수의 다항성 성장 및 연속성 보장하는 가정에 기반한다.
• 편향을 조건부 기대값의 조건부 기대값에서 유계로 제어하기 위해 마틴게일 분해와 젠센 부등식을 사용한다.
• 추정기의 점점성 정규분포는 추가 조건인 $\Delta_n N \to 0$ 하에서 도출되며, 이는 시간과 입자 수 샘플링 간의 상호작용를 통제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산 시간 관측을 통한 상호작용 입자 시스템에서 McKean-Vlasov SDE의 드리프트 및 확산 계수의 동시 추정에 대해 일치하고 점점성 정규분포를 갖는 추정기를 구성할 수 있는가?
• RQ2 추정기의 일치성을 보장하는 $\Delta_n$ 및 $N$ 의 동시 점점성 영역은 무엇인가?
• RQ3 계수의 경험 측도에 대한 의존성이 추정기의 수렴 성질에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 가짜-우도 대비 함수는 SDE의 비선형 평균장 성격을 다루는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 추정기는 어떤 조건에서 점점성 정규분포를 달성하며, $\Delta_n N \to 0$ 조건은 추정기의 분산에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 계수의 정규성 및 모멘트 조건 하에서 $\Delta_n \to 0$ 및 $N \to \infty$ 조건 하에서 제안된 추정기는 일치한다.
• 동일한 정규성 가정 하에서 $\Delta_n \to 0$, $N \to \infty$ 외에 $\Delta_n N \to 0$ 조건이 추가로 성립할 경우 점점성 정규분포가 확립된다.
• 대비 함수는 법칙에 의존하는 드리프트 및 확산 계수를 고려한 가짜-우도 근사 기반이다.
• 증명은 $p \geq 1$ 인 $L^p$ 범위에서의 이토의 공식과 모멘트 유계를 사용하여, $i$ 및 $u$ 에 대해 균일하게 조건부 기대값의 편향을 유계로 제어한다.
• 조건부 기대값의 확산 계수를 이전 시간점의 값으로 근사할 때 발생하는 오차는 $L^p$ 범위에서 $O(\Delta_n^2)$ 임을 보였다.
• $\Delta_n N \to 0$ 조건은 점점성 정규분포를 위해 필수적이며, 이는 시간 이산화와 입자 수 샘플링 간의 상호작용를 통제하는 데서 기인한 추정 분산의 트레이드오프를 반영한다.