[논문 리뷰] Parameter estimation of quantum processes using convex optimization

Gábor Balló, Katalin M. Hangos|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 29.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 채널의 구조 모델이 알려진 경우에 알려지지 않은 양자 채널 매개변수를 추정하기 위한 볼록 최적화 프레임워크를 제안한다. 채널의 초이 행렬을 선형으로 매개변수화하고 최소 제곱법을 사용한 정수형 프로그래밍 문제로 공식화함으로써, 특히 볼록 제약 조건을 통합할 경우 추정 정확도가 향상되며, 파울리 채널의 경우 순수한 볼록 공식화를 통해 전역 최적 해를 달성한다.

ABSTRACT

A convex optimization based method is proposed for quantum process tomography, in the case of known channel model structure, but unknown channel parameters. The main idea is to select an affine parametrization of the Choi matrix as a set of optimization variables, and formulate a semidefinite programming problem with a least squares objective function. Possible convex relations between the optimization variables are also taken into account to improve the estimation. Simulation case studies show, that the proposed method can significantly increase the accuracy of the parameter estimation, if the channel model structure is known. Beside the convex part, the determination of the channel parameters from the optimization variables is a nonconvex step in general. In the case of Pauli channels however, the method reduces to a purely convex optimization problem, allowing to obtain a globally optimal solution.

연구 동기 및 목표

• 채널 모델의 구조는 알려져 있으나 매개변수가 미지인 경우에 양자 채널 내 미지 매개변수를 추정하는 데 도전하는 것.
• 추정 과정에 구조적 제약 조건을 통합하여 양자 프로세스 톰그래피의 정확도를 향상시키는 것.
• 알려진 채널 모델 하에서 매개변수 추정을 다룰 수 있는 계산적으로 다룰 수 있는 방법을 개발하는 것.
• 특정 채널 가족(예: 파울리 채널)에 대해 전체 문제를 볼록으로 유지함으로써 전역 최적 해를 달성하는 것.
• 다양한 양자 채널 모델(예: 일반화된 앰플리튜드 감쇠 채널 및 일반화된 파울리 채널 포함)에 대한 시뮬레이션 사례 연구를 통해 방법의 효과성을 입증하는 것.

제안 방법

• 알려지지 않은 매개변수의 선형 변환을 통해 양자 채널의 초이 행렬을 매개변수화하여 이러한 매개변수에 대한 직접 최적화를 가능하게 한다.
• 예측된 출력 상태와 측정된 출력 상태 간의 차이를 최소화하는 최소 제곱법 정수형 프로그래밍(SDP) 문제로 추정을 공식화한다.
• 채널 모델의 구조에서 유도된 볼록 제약 조건(예: 트레이스 보존, 양성)을 통합하여 추정 정확도를 향상시킨다.
• 최적화 변수 간의 볼록 관계를 활용하기 위해 보조 최적화 문제를 사용하여 정확도와 내성 강도를 향상시킨다.
• 파울리 채널의 경우, 방법이 순수한 볼록 최적화 문제로 축소되어 표준 SDP 솔버를 통해 전역 최적 해를 달성할 수 있다.
• 알려진 입력 상태와 측정 결과를 사용하여 여러 톰그래피 구성에 대해 방법을 적용하여 채널 매개변수를 추정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 채널 모델의 구조는 알려져 있으나 매개변수가 알려지지 않은 경우 볼록 최적화가 양자 채널 내 미지 매개변수 추정에 효과적으로 사용될 수 있는가?
• RQ2 초이 행렬 매개변수에 대한 볼록 제약 조건을 통합할 경우 양자 프로세스 톰그래피의 정확도는 어떻게 향상되는가?
• RQ3 제안된 방법이 비볼록 보완을 요구하지 않고 전역 최적 해를 도출하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 일반화된 앰플리튜드 감쇠 채널 및 일반화된 파울리 채널 등의 다양한 채널 모델에서 추정 정확도는 어떻게 변화하는가?
• RQ5 특히 매개변수 공간의 경계 근처에서, 높은 차원 시스템에서의 수렴 행동과 추정 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 채널 모델의 구조가 알려진 경우 기존 방법에 비해 제안된 방법이 매개변수 추정 정확도를 크게 향상시킨다.
• 파울리 채널의 경우, 방법이 순수한 볼록 최적화 문제로 축소되어 표준 SDP 솔버를 통해 전역 최적 해를 달성할 수 있다.
• 시뮬레이션 결과는 매개변수 공간의 경계에서도 정확한 추정이 가능하며, 추정된 출력과 이상적인 출력 간의 허상도가 1에 가까워진다.
• 측정 수가 증가할수록 추정 오차의 힐버트-슈미트 노름이 감소하지만, 높은 차원에서는 초이 행렬 요소의 수가 많아서 수렴 속도가 느려진다.
• 독립적인 측정이 직교하는 부분대수에서 이루어지므로 매개변수 추정치의 공분산 행렬이 대각형이 되며, 이는 상관 없는 추정 오차를 의미한다.
• 서로 수직인 기저(MUBs)를 관측량으로 사용함으로써 부분대수 간에 효율적이고 독립적인 매개변수 추정이 가능해져 전체 정확도가 향상된다.