[논문 리뷰] Parameter-free superconvergent $H(\mathrm{div})$-conforming HDG methods for the Brinkman equations

Guosheng Fu, Yanyi Jin외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 07. 26.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 21인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 단-simplex 및 직사각형 메esh에서 Brinkman 방정식에 대해 매개변수 없이 초수렴성(superconvergent)인 $H(\mathrm{div})$-일치하는 하이브리드 불연속 갈레르킨(HDG) 방법을 제시한다. 이 방법은 속도 기울기-속도-압력 형식을 사용하며, 스토크스- 및 다르시-지배 영역 모두에서 최적의 $L^2$ 오차 추정치를 달성한다. 또한 스토크스 영역에서는 속도 오차의 투영에 대해 한 차수 높은 초수렴성 $L^2$ 오차 추정치를 제공하며, $H(\mathrm{div})$-일치성 덕분에 압력의 정규성에 영향을 받지 않는 오차 범위를 확보한다.

ABSTRACT

In this paper, we present new parameter-free superconvergent H(div)-conforming HDG methods for the Brinkman equations on both simplicial and rectangular meshes. The methods are based on a velocity gradient-velocity-pressure formulation, which can be considered as a natural extension of the H(div)-conforming HDG method (defined on simplicial meshes) for the Stokes flow [Math. Comp. 83(2014), pp. 1571-1598]. We obtain optimal error estimates in $L^2$-norms for all the variables in both the Stokes-dominated regime (high viscosity/permeability ratio) and Darcy-dominated regime (low viscosity/permeability ratio). We also obtain superconvergent L^2-estimate of one order higher for a suitable projection of the velocity error, which is typical for (hybrid) mixed methods for elliptic problems. Moreover, thanks to H(div)-conformity of the velocity, our velocity error estimates are independent of the pressure regularity. Preliminary numerical results on both triangular and rectangular meshes in two-space dimensions confirm our theoretical predictions.

연구 동기 및 목표

• 스토크스-지배 및 다르시-지배 영역 모두에서 잘 작동하는, 균일한 안정성과 고차수 HDG 방법을 개발한다.
• 기존의 HDG 또는 DG 방법에서 흔히 요구되는 안정화 매개변수의 필요성을 제거하기 위해 $H(\mathrm{div})$-일치성과 새로운 속도 기울기-속도-압력 형식을 활용한다.
• 이중 문제의 정규성 가정 하에, Brinkman 방정식에 대해 속도 오차의 초수렴성 $L^2$ 오차 추정치를 달성하는 것은 최초의 사례이다.
• 압력 정규성에 영향을 받지 않는 속도 오차 추정치를 확보함으로써, 비압축성 유동 시뮬레이션에서의 주요 이점인 압력 강인성(압력-로부스트니스)을 확보한다.
• 미래에 비압축성 스토크스 방정식으로의 확장을 가능하게 하기 위해 속도 필드에 대한 이산 $H^1$-안정성 결과를 확립한다.

제안 방법

• 이 방법은 속도 기울기를 주요 변수로 간주하여 안정성과 정확도를 향상시키는 속도 기울기-속도-압력 혼합 형식을 사용한다.
• 속도와 속도 기울기에 대해 $H(\mathrm{div})$-일치하는 유한요소 공간을 사용하여 요소 경계에서 법선 유량의 연속성을 보장한다.
• 하이브리드화 과정을 통해 요소 경계에서 속도 및 속도 기울기의 수치적 추적값을 도입함으로써 정적 축소(static condensation)를 가능하게 하고 전역 자유도를 감소시킨다.
• 기존의 DG 또는 HDG 방법에서 일반적으로 요구되는 접선 연속성에 대한 안정화 매개변수를 피하기 위해 매개변수 없이 설계되었다.
• 속도 필드에 대한 이산 $H^1$-안정성 결과를 유도하였으며, 이는 향후 스토크스 방정식으로의 자연스러운 확장에 필수적이다.
• 수치 유량은 추적 연산자에 의해 정의되고, 속도 기울기의 발산과 법선 추적값을 통한 안정화를 통해 이산 시스템을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개변수 없고 $H(\mathrm{div})$-일치하는 HDG 방법이 스토크스-지배 및 다르시-지배 영역 모두에서 최적 및 초수렴성 있는 $L^2$ 오차 추정치를 달성할 수 있는가?
• RQ2 속도 필드의 $H(\mathrm{div})$-일치성이 속도 오차 추정치의 압력 정규성에 대한 의존성을 제거하여 압력 강인성을 확보하는가?
• RQ3 속도 필드에 대한 이산 $H^1$-안정성 결과를 확립할 수 있는가? 이는 향후 비압축성 스토크스 방정식에의 적용을 가능하게 한다.
• RQ4 스토크스 영역에서 속도 오차의 적절한 투영에 대해 $L^2$-노름에서의 초수렴성이 달성 가능한가? 만약 그렇다면, 어느 차수까지인가?
• RQ5 이 방법은 삼각형 및 직사각형 메쉬 모두에서 수치적으로 어떻게 작동하는가? 이론적 오차 추정치를 확인하는가?

주요 결과

• 스토크스-지배 및 다르시-지배 영역 모두에서 속도에 대해 최적의 $L^2$ 오차 추정치를 달성하며, 다항식 차수 $k$에 대해 수렴 차수 $k+1$를 확보한다. 이는 점도/투과도 비율과 무관하다.
• 스토크스-지배 영역에서는 이중 문제의 정규성 가정 하에, 속도 오차의 적절한 투영에 대해 초수렴성 $L^2$ 오차 추정치 수렴 차수 $k+2$를 확보한다.
• 속도 오차 추정치는 $H(\mathrm{div})$-일치성 덕분에 압력 정규성에 영향을 받지 않으며, 이는 압력 강인성의 확인을 의미한다.
• 속도 필드에 대한 이산 $H^1$-안정성 결과가 확립되었으며, 이는 비압축성 스토크스 방정식으로의 자연스러운 확장에 있어 안정성 분석에 필수적이다.
• 2차원에서 삼각형 및 직사각형 메쉬에 대한 수치 실험을 통해 속도 및 속도 기울기 모두에 대해 이론적 수렴률이 확인되었다.
• 이 방법은 매개변수 없이 설계되어, 일반적으로 다른 HDG 또는 DG 방법에서 요구되는 안정화 매개변수의 필요성을 피함으로써, 강인성과 단순성을 향상시킨다.