[논문 리뷰] Parameterized Complexity of Fair Bisection: (FPT-Approximation meets Unbreakability)

Tanmay Inamdar, Daniel Lokshtanov외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 01.

Advanced Graph Theory Research인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 정점 색상에 대한 공정성 제약 조건을 가진 매개변수화된 클러스터링 문제인 Fair Bisection을 소개하고, 색상 수 c에 대해 매개변수화할 경우, k=0일 때조차도 W[1]-난이도임을 보여준다. 주요 기여는 시간 복잡도 $2^{O(k\log k)} \cdot \left(\frac{c}{\epsilon}\right)^{O(c)} \cdot n^{O(1)}$ 에서 동작하는 FPT-근사 알고리즘으로, 최대 k개의 교차 간선을 가지며 A 내의 각 색상 클래스에 대해 $(1\pm\epsilon)$-공정한 표현을 보장하는 균형 잡힌 분할을 찾는 데 성공한다. 이 알고리즘은 파괴 불가능한 트리 분해와 Lampis 스타일의 동적 프로그래밍을 활용한다.

ABSTRACT

In the Minimum Bisection problem input is a graph G and the goal is to partition the vertex set into two parts A and B, such that ||A|-|B|| ≤ 1 and the number k of edges between A and B is minimized. The problem is known to be NP-hard, and assuming the Unique Games Conjecture even NP-hard to approximate within a constant factor [Khot and Vishnoi, J.ACM'15]. On the other hand, a 𝒪(log n)-approximation algorithm [Räcke, STOC'08] and a parameterized algorithm [Cygan et al., ACM Transactions on Algorithms'20] running in time k^𝒪(k) n^𝒪(1) is known. The Minimum Bisection problem can be viewed as a clustering problem where edges represent similarity and the task is to partition the vertices into two equally sized clusters while minimizing the number of pairs of similar objects that end up in different clusters. Motivated by a number of egregious examples of unfair bias in AI systems, many fundamental clustering problems have been revisited and re-formulated to incorporate fairness constraints. In this paper we initiate the study of the Minimum Bisection problem with fairness constraints. Here the input is a graph G, positive integers c and k, a function χ:V(G) → {1, …, c} that assigns a color χ(v) to each vertex v in G, and c integers r_1,r_2,⋯,r_c. The goal is to partition the vertex set of G into two almost-equal sized parts A and B with at most k edges between them, such that for each color i ∈ {1, …, c}, A has exactly r_i vertices of color i. Each color class corresponds to a group which we require the partition (A, B) to treat fairly, and the constraints that A has exactly r_i vertices of color i can be used to encode that no group is over- or under-represented in either of the two clusters. We first show that introducing fairness constraints appears to make the Minimum Bisection problem qualitatively harder. Specifically we show that unless FPT=W[1] the problem admits no f(c)n^𝒪(1) time algorithm even when k = 0. On the other hand, our main technical contribution shows that is that this hardness result is simply a consequence of the very strict requirement that each color class i has exactly r_i vertices in A. In particular we give an f(k,c,ε)n^𝒪(1) time algorithm that finds a balanced partition (A, B) with at most k edges between them, such that for each color i ∈ [c], there are at most (1±ε)r_i vertices of color i in A. Our approximation algorithm is best viewed as a proof of concept that the technique introduced by [Lampis, ICALP'18] for obtaining FPT-approximation algorithms for problems of bounded tree-width or clique-width can be efficiently exploited even on graphs of unbounded width. The key insight is that the technique of Lampis is applicable on tree decompositions with unbreakable bags (as introduced in [Cygan et al., SIAM Journal on Computing'14]). An important ingredient of our approximation scheme is a combinatorial result that may be of independent interest, namely that for every k, every graph G admits a tree decomposition with adhesions of size at most 𝒪(k), unbreakable bags, and logarithmic depth.

연구 동기 및 목표

• 공정성 제약 조건 하에서 최소 이등분 문제를 정형화하고 연구하는 것: 각 색상 클래스가 두 클러스터에 비례적으로 배분되어야 한다.
• Fair Bisection의 매개변수 복잡도를 연구하는 것, 특히 컷 크기 k, 색상 수 c, 공정성 근사 요소 ϵ에 대한 것이다.
• 기본 매개변수화 조건 하에서 최소 이등분에 대한 정확한 FPT 알고리즘을 Fair Bisection으로 확장할 수 있는지 확인하는 것.
• $(1\pm\epsilon)$-공정성을 달성하면서도 컷 크기 k를 유지하는 새로운 FPT-근사 알고리즘을 개발하는 것.

제안 방법

• 파괴 불가능한 백의 트리 분해를 기반으로 한 매개변수화 근사 프레임워크를 제안하며, Lampis(ICALP'18)의 방법을 활용해 폭이 제한된 동적 프로그래밍을 수행한다.
• 새로운 조합적 구성 기법을 도입: 임의의 그래프 G와 정수 k에 대해 깊이 로그 크기의 $(9k, k)$-파괴 불가능한 트리 분해를 시간 $2^{O(k\log k)}n^{O(1)}$ 에 계산할 수 있다.
• 파괴 불가능한 백에서의 동적 프로그래밍을 활용해 근사 공정성 제약 조건을 만족하는 해를 효율적으로 탐색한다.
• 다차원 부분합 문제를 Fair Bisection으로의 매개변수 보존적 변환을 통해 감소시켜, k=0일 때 W[1]-난이도를 입증한다.
• 정확한 공정성 제약 조건의 완화: 색상 i의 정점 수 $r_i$를 정확히 A에 배치하는 대신, $ (1 \pm \epsilon)r_i $ 범위 내에서 허용함으로써 효율적인 FPT-근사가 가능해진다.
• 다차원 분할 문제에서 Fair Bisection으로의 감소를 적용하여, 컷 크기가 0인 공정한 이등분이 존재하는 것과 원래 MDSS 인스턴스가 '예'임이 동치임을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Fair Bisection는 색상 수 c에 대해 매개변수화할 경우, k=0일 때조차도 W[1]-난이도인가?
• RQ2 최소 이등분에 대한 FPT 알고리즘은 매개변수화 k, c에 대해 Fair Bisection로 확장될 수 있는가? $f(k,c) \cdot n^{O(1)}$ 시간 복잡도로.
• RQ3 $(1\pm\epsilon)$-공정성을 달성하면서도 컷 크기 k를 유지하는 FPT-근사 알고리즘이 존재하는가?
• RQ4 Lampis(ICALP'18)의 방법을 폭이 제한되지 않은 트리 폭을 가진 그래프로 확장할 수 있는가? 파괴 불가능한 백을 사용하여.
• RQ5 어떤 트리 분해의 구조적 성질이 Fair Bisection에 대한 효율적인 FPT-근사 알고리즘을 가능하게 하는가?

주요 결과

• Fair Bisection는 색상 수 c에 대해 매개변수화할 경우, k=0일 때조차도 W[1]-난이도이며, 이는 FPT 알고리즘 $f(k,c) \cdot n^{O(1)}$ 가 존재하지 않음을 의미한다. FPT=W[1]가 아닐 경우.
• 시간 복잡도 $2^{O(k\log k)} \cdot \left(\frac{c}{\epsilon}\right)^{O(c)} \cdot n^{O(1)}$ 에서 동작하는 FPT-근사 알고리즘이 존재하며, $(1\pm\epsilon)$-공정성과 최대 k개의 클러스터 간 간선을 보장한다.
• 이 알고리즘은 파괴 불가능한 백을 가진 트리 분해에 Lampis 스타일의 동적 프로그래밍을 적용하여 도출되었으며, 이 백은 $2^{O(k\log k)}n^{O(1)}$ 시간 내에 구성된다.
• 임의의 그래프 G와 정수 k에 대해 깊이 로그 크기이며, 부착 크기가 최대 8k인 $(9k, k)$-파괴 불가능한 트리 분해를 계산할 수 있다.
• 이 근사 체계는 강건하며, 정점이 다수의 색상 클래스에 속할 수 있는 경우에도 확장 가능하다.
• $\epsilon = 1/(2n)$ 으로 설정하면, FPT-근사 알고리즘은 최소 이등분에 대한 $2^{O(k\log k)} \cdot n^{O(1)}$ 알고리즘을 특수 케이스로 복원한다.