[논문 리뷰] Parameterized Complexity of Finding a Maximum Common Vertex Subgraph Without Isolated Vertices

Palash Dey, Anubhav Dhar외 3명|arXiv (Cornell University)|2026. 02. 11.

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한 줄 요약

한 문장 요약: 이 논문은 격리 정점이 없는 최대 공통 정점 서브그래프(Maximum Common Vertex Subgraph without isolated vertices)을 연구하여 NP-hardness를 입증하고, 하위그래프 크기 h로 매개변수화된 FPT 알고리즘을 제시하며, 구조적 그래프 매개변수 전반에 걸친 포괄적인 매개변수 복잡도 지형을 매핑한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the Maximum Common Vertex Subgraph problem: Given two input graphs $G_1,G_2$ and a non-negative integer $h$, is there a common subgraph $H$ on at least $h$ vertices such that there is no isolated vertex in $H$. In other words, each connected component of $H$ has at least $2$ vertices. This problem naturally arises in graph theory along with other variants of the well-studied Maximum Common Subgraph problem and also has applications in computational social choice. We show that this problem is NP-hard and provide an FPT algorithm when parameterized by $h$. Next, we conduct a study of the problem on common structural parameters like vertex cover number, maximum degree, treedepth, pathwidth and treewidth of one or both input graphs. We derive a complete dichotomy of parameterized results for our problem with respect to individual parameterizations as well as combinations of parameterizations from the above structural parameters. This provides us with a deep insight into the complexity theoretic and parameterized landscape of this problem.

연구 동기 및 목표

• 공통 부분그래프에서 고립 정점을 금지하여 Maximum Common Subgraph 문제의 자연스러운 변형을 연구하려는 동기.
• NP-hardness를 확립하고 목표 서브그래프 크기 h로 매개변수화된 FPT 알고리즘을 개발.
• 구조적 매개변수(vertex cover, treedepth, pathwidth, treewidth, maximum degree) 하에서 문제를 특징짓고 복잡성 이분법을 제공.
• 평면 그래프 인스턴스에 대한 근사 가능성 탐색과 계산 사회 선택에서 관련 그래프 문제에 대한 시사점 논의.

제안 방법

• MaxComSubG와 No-Isolated-Vertices 변형을 공식화하고, 이것이 최대 공통 스타 숲을 찾는 문제와 동등함을 보인다.
• h로 매개변수화된 MaxComSubG에 대해 실행시간 2^{O(h)} · n의 FPT 알고리즘을 개발.
• Dominating Set를 MaxComSubG로 환원하여 vertex cover 크기로 매개변수화했을 때 W[2]-hardness를 확립.
• P3-Factor로부터의 환원으로 최대 차수 3인 planar 그래프에서도 MaxComSubG의 NP-난해성을 보인다.
• 두 그래프의 vertex cover 수의 합을 매개변수로 하는 경우에 대한 ILP 기반의 FPT 접근법을 제시.
• 제한된 최대 차수를 갖는 planar 그래프에 대한 EPTAS를 제공하여 난해도 결과를 보완한다.

Figure 1 : Construction of $T_{i}$ .

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대상 서브그래프 크기 h로 매개변수화했을 때 MaxComSubG의 매개변수화된 복잡도는 무엇인가?
• RQ2 vertex cover 수, treedepth, pathwidth, treewidth(및 이들의 조합) 및 maximum degree 하에서 MaxComSubG가 어떻게 동작하는가?
• RQ3 MaxComSubG가 단일 매개변수 설정 또는 다중 매개변수 설정에서 FPT이며 아니면 hard한가?
• RQ4 bounded degree를 가진 planar 그래프에서 MaxComSubG를 효율적으로 근사화할 수 있는가?
• RQ5 그래프 이론 및 계산 사회 선택의 관련 문제들에 대한 결과의 시사점은 무엇인가?

주요 결과

• MaxComSubG는 NP-hard이며, 공통 서브그래프의 크기 h(= size of the common subgraph)로 매개변수화하면 FPT 알고리즘이 존재한다.
• MaxComSubG는 하나의 입력 그래프의 최소 vertex cover로 매개변수화될 때 W[2]-hardness다.
• MaxComSubG는 두 입력 그래프의 최대 차수 합으로 매개변수화될 때 para-NP-hard이다.
• 두 입력 그래프의 vertex cover 수의 합으로 매개변수화하면 MaxComSubG는 FPT이다.
• MaxComSubG는 두 입력 그래프의 treedepth의 합으로 매개변수화될 때 para-NP-hard이고, 따라서 pathwidth나 treewidth로도 para-NP-hard이다.
• treedepth와 maximum degree의 합으로 매개변수화될 때 FPT 알고리즘이 존재하며, vertex-cover 매개변수화에 대해서는 ILP 기반의 FPT 접근법이 있다.
• 최대 차수 3인 planar 그래프에 대한 NP-hardness 결과가 존재하고, 제한된 차수를 가진 planar 그래프에 대한 EPTAS가 보완적으로 존재한다.
• 두 그래프의 vertex cover가 최대 k인 경우 최대 공통 스타 숲의 크기에 대한 FPT 알고리즘이 존재하며, 실행 시간은 2^{2^{O(k)}} · poly(n)이다.

Figure 2 : Construction of $G_{2}$ .