[논문 리뷰] Parameterized Complexity of Incomplete Connected Fair Division

Harmender Gahlawat, Meirav Zehavi|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 01.

Game Theory and Voting Systems인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 정점의 수가 정확히 p개인 그래프에서의 공정 분배를 일반화한 불완전한 연결 공정 분배(ICFD)를 제안한다. 여기서 각 에이전트는 연결된 부분그래프를 받으며, EF, EF1, EFX의 변형은 작고 구조적 매개변수를 가질지라도 여전히 W[1]-하드이다. 반면 PROP-ICFD는 랜덤화된 색상 코딩 알고리즘을 통해 p에 대해서만 매개변수화되었을 때 FPT임을 보여주며, 중심적인 공정성 개념에 대한 핵심적 타당성 결과를 제공한다.

ABSTRACT

Fair division of resources among competing agents is a fundamental problem in computational social choice and economic game theory. It has been intensively studied on various kinds of items (divisible and indivisible) and under various notions of fairness. We focus on Connected Fair Division (CFD), the variant of fair division on graphs, where the resources are modeled as an item graph. Here, each agent has to be assigned a connected subgraph of the item graph, and each item has to be assigned to some agent. We introduce a generalization of CFD, termed Incomplete CFD (ICFD), where exactly p vertices of the item graph should be assigned to the agents. This might be useful, in particular when the allocations are intended to be "economical" as well as fair. We consider four well-known notions of fairness: PROP, EF, EF1, EFX. First, we prove that EF-ICFD, EF1-ICFD, and EFX-ICFD are W[1]-hard parameterized by p plus the number of agents, even for graphs having constant vertex cover number (vcn). In contrast, we present a randomized FPT algorithm for PROP-ICFD parameterized only by p. Additionally, we prove both positive and negative results concerning the kernelization complexity of ICFD under all four fairness notions, parameterized by p, vcn, and the total number of different valuations in the item graph (val).

연구 동기 및 목표

• 불완전한 연결 공정 분배(ICFD)의 매개변수 복잡도를 체계화하고 분석하는 것. 여기서 ICFD는 정확히 p개의 정점이 할당되는 그래프 기반 공정 분배의 일반화이다.
• p, 정점 커버 수(VCN), 에이전트 수(|A|), 그리고 서로 다른 평가 수(val)와 같은 구조적 매개변수에 대해 네 가지 공정성 기준( PROP, EF, EF1, EFX)에 대한 ICFD의 타당성 여부를 조사하는 것.
• 다양한 매개변수 조합 하에서 ICFD가 효율적인 커널화 또는 다항식 압축을 갖는지 여부를 규명하는 것.
• 특히 PROP 공정성 기준에서 ICFD가 타당해지는 조건을 특정하는 것.

제안 방법

• ICFD를 연결 공정 분배(CFD)의 일반화로 도입하며, 여기서 항목 그래프의 정확히 p개 정점이 에이전트에게 할당되고, 각 에이전트는 연결된 부분그래프를 받아야 한다.
• p + vcn + |A|에 대해 매개변수화되었을 때 EF-ICFD, EF1-ICFD, EFX-ICFD의 W[1]-하드성을 증명하기 위해 (k,M)-SUM 문제로부터의 매개변수화 감소를 사용한다. 이는 VCN이 상수인 그래프에서도 성립한다.
• φ-ICFD(φ ∈ {EF, EF1, EFX, PROP})에 대해 vcn + val + p에 대해 매개변수화된 지수적 커널을 설계하여, 인스턴스가 O(p²vcnvalval + vcn)의 크기로 축소될 수 있음을 보여준다.
• Red-Blue Dominating Set에서 다항식 매개변수 변환을 통해, vcn + val + p에 대해 매개변수화되었을 때 φ-ICFD가 다항식 압축을 갖지 못함을 증명한다. 이는 NP ⊆ coNP/poly가 성립하지 않는 한이다.
• PROP-ICFD에 대한 랜덤화된 색상 코딩 알고리즘을 개발하며, |A|가지 색상으로 정점을 무작위로 색칠하여 유효한 연결 할당을 식별한다. 이 알고리즘은 상수 성공 확률을 가진다. 시간 복잡도는 e^p^{O(p \log p)}로 FPT이다.
• 균일한 무작위 색칠 하에 유효한 PROP 할당이 존재할 확률이 최소 (1/|A|)^p임을 활용하여, 반복을 통해 성공 확률을 증폭시킬 수 있음을 이용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p + |A|에 대해 매개변수화되었을 때, 별도의 VCN이 상수인 별 모양 그래프에서도 EF-ICFD는 W[1]-하드인가?
• RQ2 EF1-ICFD와 EFX-ICFD는 (k,M)-SUM으로부터 감소시켜 p + vcn + |A|에 대해 매개변수화되었을 때 W[1]-하드성을 입증할 수 있는가? 이는 VCN = 2인 그래프에서도 성립하는가?
• RQ3 다른 공정성 개념의 하드함에도 불구하고, PROP-ICFD는 p에 대해서만 매개변수화되었을 때 FPT 알고리즘을 갖는가?
• RQ4 φ-ICFD(φ ∈ {PROP, EF, EF1, EFX})는 vcn + val + p에 대해 지수적 크기의 커널로 압축될 수 있으며, 이 매개변수화 하에서 다항식 압축은 불가능한가?
• RQ5 PROP-ICFD의 행동은 전체 그래프가 아닌 할당된 부분그래프에 기반한 상대적 공정성 기준인 PRP-ICFD와 어떻게 다를까?

주요 결과

• EF-ICFD는 p + |A|에 대해 매개변수화되었을 때, (k,M)-SUM 문제로부터의 감소를 통해 별 모양 그래프에서도 W[1]-하드이다.
• EF1-ICFD와 EFX-ICFD는 p + vcn + |A|에 대해 매개변수화되었을 때, 정점 커버 수가 2인 그래프에서도 W[1]-하드이다.
• φ ∈ {EF, EF1, EFX}에 대해 φ-ICFD는 크기가 최대 p²vcnvalval + vcn인 지수적 커널을 갖는다. PROP-ICFD는 크기가 최대 p²vcnvalval + vcn + p인 커널을 갖는다.
• vcn + val + |A| + p에 대해 매개변수화되었을 때 φ-ICFD는 NP ⊆ coNP/poly가 성립하지 않는 한 다항식 압축을 갖지 못하며, 이는 다항식 매개변수 변환을 통해 입증되었다.
• PROP-ICFD는 p에 대해서만 매개변수화되었을 때 FPT이며, 랜덤화된 알고리즘이 시간 복잡도 e^p^{O(p \log p)} 내에서 작동하며 성공 확률은 최소 1 − 1/e이다.
• PROP-ICFD에 대한 색상 코딩 알고리즘의 성공 확률은 균일한 무작위 색칠 하에 최소 (1/|A|)^p이며, 반복을 통해 성공 확률을 증폭시킬 수 있다.