[논문 리뷰] Parameterized Complexity of Stable Roommates with Ties and Incomplete Lists Through the Lens of Graph Parameters

Robert Bredereck, Klaus Heeger외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Advanced Graph Theory Research인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 구조적 그래프 파라미터를 사용하여 연결된 목록이 있는 안정된 방배정 문제(SRTI)의 매개변수 복잡도를 조사한다. Max-SRTI가 트리깊이, 트리커파라미터, 그리고 분리 경로 모듈레이터 수에 대해 W[1]-난이도임을 증명하며, Perfect-SRTI 및 SRTI-Existence가 트리커파라미터에 대해 고정 매개변수 다항시간(FPT)임을 입증한다. 또한 피드백 간선 집합 수에 대해 3^fes(G) · n^O(1) 실행 시간을 가지는 FPT 알고리즘을 제시한다.

ABSTRACT

We continue and extend previous work on the parameterized complexity analysis of the NP-hard Stable Roommates with Ties and Incomplete Lists problem, thereby strengthening earlier results both on the side of parameterized hardness as well as on the side of fixed-parameter tractability. Other than for its famous sister problem Stable Marriage which focuses on a bipartite scenario, Stable Roommates with Incomplete Lists allows for arbitrary acceptability graphs whose edges specify the possible matchings of each two agents (agents are represented by graph vertices). Herein, incomplete lists and ties reflect the fact that in realistic application scenarios the agents cannot bring all other agents into a linear order. Among our main contributions is to show that it is W[1]-hard to compute a maximum-cardinality stable matching for acceptability graphs of bounded treedepth, bounded tree-cut width, and bounded feedback vertex number (these are each time the respective parameters). However, if we "only" ask for perfect stable matchings or the mere existence of a stable matching, then we obtain fixed-parameter tractability with respect to tree-cut width but not with respect to treedepth. On the positive side, we also provide fixed-parameter tractability results for the parameter feedback edge set number.

연구 동기 및 목표

• 연결된 목록이 있는 SRTI의 매개변수 복잡도를 구조적 그래프 파라미터를 사용하여 분석하는 것.
• SRTI의 다양한 변종에 대해 고정 매개변수 다항시간과 W[1]-난이도 사이의 경계를 규명하는 것.
• 이전의 폭넓은 트리너프 및 정점 커버 연구를 트리깊이, 트리커파라미터, 피드백 간선 집합 등 더 강력한 그래프 파라미터로 확장하는 것.
• SRTI의 매개변수 복잡도 지형도를 종합적으로 제시하는 것.
• 새로운 FPT 알고리즘을 확립하고 기존 파라미터에 대한 난이도 결과를 강화하는 것.

제안 방법

• Max-SRTI를 트리너프가 유한한 수정된 수용성 그래프 H_F'에서의 안정 매칭 문제로 감소시킨다.
• 피드백 간선 집합 F를 사용하여 가능한 모든 매칭 F' ⊆ F를 순환하며, 매칭되지 않은 정점은 보조 3사이클을 통해 처리한다.
• 각 간선 e ∈ F ∖ F'에 대해, 어느 끝점이 매칭을 선호하는지 결정하기 위해 함수 f(e) ∈ e를 사용한다.
• 잠재적 차단 쌍이 있는 정점에 3사이클을 추가하여 그래프 H_F'를 구성하며, H_F'에서의 안정 매칭이 원래 그래프에서의 안정 매칭과 대응되도록 보장한다.
• 트리너프에 대해 알려진 XP 알고리즘(≤2)을 사용하여 감소된 인스턴스를 해결한다.
• H_F'에 대해 최대 2의 너비를 가지는 트리 분해를 사용하여 다항시간 해법 가능성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Max-SRTI는 트리깊이, 트리커파라미터, 또는 분리 경로 모듈레이터 수에 대해 고정 매개변수 다항시간(FPT)인가?
• RQ2 Perfect-SRTI 또는 SRTI-Existence는 트리커파라미터에 대해 FPT 시간 내에 해결 가능한가?
• RQ3 Max-SRTI는 피드백 간선 집합 수에 대해 FPT인가?
• RQ4 트리커파라미터 또는 피드백 간선 집합에 대해 Max-SRTI의 FPT 알고리즘의 최적 실행 시간은 무엇인가?
• RQ5 SRTI의 고정 매개변수 다항시간 케이스에 대해 다항 커널을 개발할 수 있는가?

주요 결과

• Max-SRTI는 트리깊이, 트리커파라미터, 또는 분리 경로 모듈레이터 수에 대해 W[1]-난이도이다.
• Perfect-SRTI 및 SRTI-Existence는 트리커파라미터에 대해 고정 매개변수 다항시간(FPT)이다.
• Max-SRTI는 피드백 간선 집합 수에 대해 실행 시간 3^fes(G) · n^O(1)을 가지는 FPT 알고리즘을 갖는다.
• 트리너프가 최대 2인 그래프로의 감소는 변환된 인스턴스의 다항시간 해법 가능성을 보장한다.
• 보조 3사이클의 구성은 잠재적 차단 쌍이 있는 정점들이 수정된 그래프의 모든 안정 매칭에서 매칭됨을 보장한다.
• 실행 시간 상한 3^fes(G) · n^O(1)은 지수 인자에 대해 최적이며, 이를 2^O(fes(G))로 향상시키는 것은 여전히 열린 문제이다.