[논문 리뷰] Parameterized Complexity of Streaming Diameter and Connectivity Problems

Jelle J. Oostveen, Erik Jan van Leeuwen|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 01.

Complexity and Algorithms in Graphs인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 스트리밍 모델에서 지름과 연결성의 매개변수 복잡도를 조사하며, 크기 $k$인 정점 커버가 존재할 경우 인접리스트(AL) 모델에서 상수 개의 패ass, $O(k\log n)$비트 알고리즘이 가능함을 보여준다. 다른 매개변수에 대해 강력한 하한을 증명하고, Vertex Cover $[k]$에 대한 새로운 스트리밍 커널화 기법을 제안하여 $O(k^2)$패스와 $O(\log n)$메모리에서 $2k$정점 커널을 생성하며, 이분 그래프와 H-free 모듈레이터에 대해 날카로운 하한을 확립한다.

ABSTRACT

We initiate the investigation of the parameterized complexity of Diameter and Connectivity in the streaming paradigm. On the positive end, we show that knowing a vertex cover of size $k$ allows for algorithms in the Adjacency List (AL) streaming model whose number of passes is constant and memory is $O(\log n)$ for any fixed $k$. Underlying these algorithms is a method to execute a breadth-first search in $O(k)$ passes and $O(k \log n)$ bits of memory. On the negative end, we show that many other parameters lead to lower bounds in the AL model, where $Ω(n/p)$ bits of memory is needed for any $p$-pass algorithm even for constant parameter values. In particular, this holds for graphs with a known modulator (deletion set) of constant size to a graph that has no induced subgraph isomorphic to a fixed graph $H$, for most $H$. For some cases, we can also show one-pass, $Ω(n \log n)$ bits of memory lower bounds. We also prove a much stronger $Ω(n^2/p)$ lower bound for Diameter on bipartite graphs. Finally, using the insights we developed into streaming parameterized graph exploration algorithms, we show a new streaming kernelization algorithm for computing a vertex cover of size $k$. This yields a kernel of $2k$ vertices (with $O(k^2)$ edges) produced as a stream in $ ext{poly}(k)$ passes and only $O(k \log n)$ bits of memory.

연구 동기 및 목표

• 스트리밍 모델에서 지름과 연결성의 매개변수 복잡도를 이해하는 것, 특히 구조적 그래프 매개변수 하에서의 성질을 분석하는 것.
• 작은 정점 커버 또는 H-free 모듈레이터를 알고 있음으로써 효율적인 스트리밍 알고리즘이 가능해지는지 여부를 규명하는 것.
• 낮은 메모리와 패스 복잡도를 갖는 Vertex Cover $[k]$에 대한 스트리밍 커널화 알고리즘을 개발하는 것.
• AL 및 EA 모델에서 다양한 그래프 매개변수에 대해 날카로운 하한을 확립하는 것.

제안 방법

• 모서리가 정점별로 묶이고 양 방향에서 입력되는 인접리스트(AL) 스트리밍 모델을 사용하며, 이는 효율적인 BFS 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 크기 $k$인 정점 커버를 매개변수로 사용하여 $O(k)$패스와 $O(k\log n)$비트 메모리에서 동작하는 BFS 알고리즘을 개발한다.
• 수정된 Hopcroft-Karp 알고리즘과 교차 경로 탐색을 적용하여 이분 그래프에서 최소 정점 커버를 $O(k)$패스와 $O(k\log n)$메모리로 계산한다.
• 이중 단계 접근법을 사용한다: 첫 번째 단계에서 알려진 모듈레이터를 활용해 입력 그래프를 희박한 그래프 클래스로 변환하고, 두 번째 단계에서 최소 정점 커버 계산을 통해 커널화를 적용한다.
• 기존의 H-free 모듈레이터 결과를 활용하여 스트리밍 환경에 적용함으로써 긍정적 및 부정적 결과를 도출한다.
• 커뮤니케이션 복잡도 기법을 사용하며, 이산성과 순열 문제를 활용해 AL 및 EA 모델에서 하한을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정점 커버의 크기가 $k$인 경우 사전에 알려져 있을 때, 스트리밍 모델에서 지름과 연결성을 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ2 거리가 $\ell$-클리크까지의 거리 계산은 Vertex Cover $[k]$의 쌍대 매개변수로서 스트리밍 복잡도가 어떻게 되는가?
• RQ3 AL 모델에서 간격 그래프에 대해 지름과 연결성에 대한 효율적인 스트리밍 알고리즘이 존재하는가?
• RQ4 고립 정점이 허용되는 조건 하에서, AL 모델에서 스플릿 그래프에서 연결성을 $O(\log n)$메모리로 해결할 수 있는가?
• RQ5 패스 수가 $O(\text{poly}(k))$, 메모리가 $O(\text{poly}(k, \log n))$인 Vertex Cover $[k]$에 대한 스트리밍 알고리즘이 존재하는가?

주요 결과

• 크기 $k$인 정점 커버가 존재할 경우, AL 모델에서 지름과 연결성에 대해 상수 패스, $O(k\log n)$비트 알고리즘이 가능하다.
• 이 논문은 Vertex Cover $[k]$에 대해 $O(k^2)$패스와 $O(k\log n)$메모리에서 $2k$정점 커널을 생성하는 새로운 스트리밍 커널화 알고리즘을 제안한다.
• 엣지 도착(EA) 모델에서는 동일한 커널화에 $O(k^3)$패스가 필요하여 더 약한 모델의 비용이 뚜렷하게 드러난다.
• 이분 그래프에서 AL 모델에서 지름에 대해 $\Omega(n^2/p)$하한이 증명되었으며, 이는 큰 $p$에 대해 강력한 비가역성을 보여준다.
• 일반적인 상수 크기의 H-free 모듈레이터에 대해, AL 모델에서 심지어 상수 $k$일지라도 $\Omega(n/p)$메모리가 필요하며, 이는 정점 커버가 최전선 매개변수임을 시사한다.
• 희박한 그래프에서 Connectivity 및 지름에 대한 1패스 알고리즘은 $\Omega(n\log n)$비트 메모리가 필요하며, 이 하한은 많은 경우 상수 매개변수 값에서도 유지된다.