[논문 리뷰] Parameterized Norm and Parameterized Fixed-Point Theorem by Using Fuzzy Soft Set Theory

Azadeh Zahedi Khameneh, Adem Kılıçman외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 09. 19.

Fuzzy and Soft Set Theory참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 매개변수화된 퍼지 소프트 노름을 도입하고, 퍼지 소프트 노름 공간에서 고정점 정리를 수립하여 고전적 노름 이론과 고정점 이론을 퍼지 소프트 집합에서의 불확실성과 매개변수화를 다룰 수 있도록 확장한다. 퍼지 소프트 실수를 제안하고, 퍼지 소프트 노름을 정의하며, 이러한 공간에서 수축 사상 하에서 고정점의 존재성과 유일성을 증명한다.

ABSTRACT

From last decade, when Molodtsov introduced the theory of soft set as a new approach to deal with uncertainties, until now this theory was considered sharply by a fair number of researchers. Combination of fuzzy set theory and soft set theory, called fuzzy soft set theory, by Maji et.al opened a new way for researchers whose frame work of study is soft sets and fuzzy sets. Although published papers in this area have considered both application and theoretical aspects of fuzzy soft set theory, the concept of norm for a fuzzy soft set has not been studied yet. We begin this paper by introducing fuzzy soft real numbers, which are needed for study fuzzy soft norm, and then continued by considering fuzzy soft norm. Fixed-point theorem is also investigated for fuzzy soft normed spaces.

연구 동기 및 목표

• 퍼지 소프트 집합 프레임워크에서 노름과 고정점 이론의 부족을 해결함으로써, 특히 부정확하고 매개변수화된 데이터를 다룰 수 있도록 한다.
• 퍼지 소프트 실수의 개념을 체계화하여 퍼지 소프트 노름을 정의하는 기초를 마련한다.
• 매개변수화된 불확실성을 활용하여 고전적 노름 이론과 고정점 이론을 퍼지 소프트 노름 공간으로 확장한다.
• 완비 퍼지 소프트 노름 공간에서 퍼지 소프트 수축 사상에 대한 매개변수화된 고정점 정리를 수립한다.
• 환경 과학이나 경제학과 같은 분야에서 나타나는 매개변수를 포함한 실제 세계의 불확실성을 모델링하기 위한 이론적 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 퍼지 소프트 집합 이론 내에서 실수의 일반화로써 퍼지 소프트 실수를 도입하여, 매개변수화된 환경에서의 산술 연산을 가능하게 한다.
• 매개변수 e와 α-컷 수준을 기반으로 한 매개변수화된 함수 ||·||_e,α를 사용하여 퍼지 소프트 노름을 정의하며, 이는 퍼지 소프트 원소 간의 가까이서 정도를 측정한다.
• 고전적 노름과 퍼지 소프트 노름 간의 관계를 수립하여, 매개변수화가 있을 경우 퍼지 소프트 노름이 고전적 노름을 일반화함을 보여준다.
• 퍼지 소프트 수열을 도입하고, 퍼지 소프트 노름을 사용하여 퍼지 소프트 코시 수열과 수렴 수열을 정의한다.
• 베르누아 고정점 정리의 프레임워크를 퍼지 소프트 노름 공간에 적용하여, 수축 사상 하에서 반복 수열의 수렴성을 증명한다.
• 수렴성과 고정점의 존재 및 유일성을 증명하기 위해 수축 조건 ||T(x̃_E) ⊖ T(ỹ_E)||_e,α ≤ k||x̃_E ⊖ ỹ_Ẽ||_e,α (0 ≤ k < 1) 를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매개변수화된 불확실성 하에서 원소 간의 가까이서 정도를 측정하기 위해 퍼지 소프트 집합에 대해 노름을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 퍼지 소프트 실수의 형식적 정의와 대수적 구조는 무엇이며, 이는 퍼지 소프트 프레임워크에서 산술 연산을 어떻게 지원하는가?
• RQ3 퍼지 소프트 노름은 고전적 노름과 어떤 관계가 있으며, 매개변수화 하에서 어떻게 일반화되는가?
• RQ4 고전적 바나흐 고정점 정리와 유사한 고정점 정리는 퍼지 소프트 노름 공간에서 수립될 수 있는가?
• RQ5 완비 퍼지 소프트 노름 공간에서 퍼지 소프트 수축 사상에 대해 고정점의 존재성과 유일성을 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 퍼지 소프트 실수를 성공적으로 정의하고, 그 대수적 성질을 수립하여 퍼지 소프트 프레임워크 내에서 산술 연산을 가능하게 하였다.
• 매개변수 e와 α-컷 수준을 사용한 새로운 퍼지 소프트 노름이 도입되어, 불확실성 하에서 퍼지 소프트 원소 간의 거리를 측정할 수 있게 되었다.
• 퍼지 소프트 노름은 고전적 노름을 일반화하며, 매개변수화를 제거한 경우 고전적 노름으로 복원됨을 보였다.
• 퍼지 소프트 코시 수열과 수렴 수열이 정의되었고, 퍼지 소프트 바나흐 공간에서 모든 코시 수열이 수렴함을 증명하였다.
• 매개변수화된 고정점 정리가 수립되었으며, 완비 퍼지 소프트 노름 공간에서의 모든 퍼지 소프트 수축 사상은 유일한 고정점을 가진다.
• 두 고정점 간의 거리가 퍼지 소프트 노름 하에서 반드시 0이 되므로, 고정점의 유일성이 증명되었다.