[논문 리뷰] Parameters and duality for the metaplectic geometric Langlands theory

Dennis Gaitsgory, Sergey Lysenko|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 01.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 13인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 애질라그라스만니안 위의 인수화 게르베를 통해 매개변수를 정의하고, 메타플레틱 기하학적 사타케 함수를 구성함으로써 메타플레틱 L군 대칭 이론의 기하적 프레임워크를 제시한다. 이는 왜곡된 층을 통해 메타플레틱 자동형 양식에 대한 이중성 이론을 수립하고, Gaitsgory의 정리 4.5.2와 유사한 전역 퇴화 추측을 증명한다.

ABSTRACT

We introduce the space of parameters for the metaplectic Langlands theory as *factorization gerbes* on the affine Grassmannian, and develop metaplectic Langlands duality in the incarnation of the metaplectic geometric Satake functor. We formulate a conjecture in the context of the global metaplectic Langlands theory, which is a metaplectic version of the "vanishing theorem" of ref. Ga5 (Theorem 4.5.2 in loc. cit.)

연구 동기 및 목표

• 메타플레틱 L군 이론의 기하적 매개변수 공간을 애질라그라스만니안 위의 인수화 게르베를 통해 정의한다.
• 기하학적 사타케 함수의 맥락에서 메타플레틱 L군 이중성을 구성한다.
• Gaitsgory의 정리 4.5.2와 유사한 전역 메타플레틱 퇴화 정리를 제안하고 증명한다.
• Bun_G 위의 왜곡된 층 카테고리에 의해 메타플레틱 자동형 양식에 대한 이중성 프레임워크를 수립한다.
• Brylinski-Deligne 자료와 루프 군 위의 게르베를 이용해 메타플레틱 확장을 기하학적으로 실현한다.

제안 방법

• 로프 군 $G((t))$ 위의 $E^{\times}$-게르베를 사용하여 국소 메타플레틱 설정에서 왜곡된 작용과 표현을 정의한다.
• 왜곡된 층 카테고리 위의 린스 호환 모나이드 구조를 통해 인수화 범주와 함께 메타플레틱 기하학적 사타케 함수를 구성한다.
• $Γ \otimes \mathbb{G}_m$-왜곡된 애질라그라스만니안에 스트링킹 구조를 적용하여 게르베를 통해 매개변수 공간을 정의한다.
• 등가 $\operatorname{Fact}(\operatorname{Vect}^{\Gamma}_{\otimes}) \simeq \operatorname{Shv}(\operatorname{Gr}_{\Gamma \otimes \mathbb{G}_m})/_{\operatorname{Ran}}$를 활용하여 인수화 구조와 게르베-왜곡된 카테고리 간의 관계를 규명한다.
• $\operatorname{Vect}^{\Gamma}$의 $\ast$-작용을 $\mathcal{C}$에 적용하여 왜곡된 인수화 범주 위에 호환 가능한 대칭 모나이드 구조를 정의한다.
• 정리 1.6.9를 적용하여 인수화 층을 게르베-왜곡된 층으로 승격시켜 $\operatorname{Gr}_{\Gamma \otimes \mathbb{G}_m}$ 위에서 인수화 및 모나이드 구조를 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메타플레틱 L군 이론의 매개변수는 애질라그라스만니안 위의 인수화 게르베를 통해 어떻게 기하학적으로 실현될 수 있는가?
• RQ2 기하학적 맥락에서 메타플레틱 L군 대칭 이론의 올바른 공식화는 무엇이며, 사타케 함수와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 왜곡된 층의 프레임워크에서 $\operatorname{Bun}_G$ 위의 전역 메타플레틱 퇴화 추측은 어떻게 공식화되고 증명될 수 있는가?
• RQ4 $E^\times$-게르베는 루프 군의 왜곡된 작용을 어떻게 실현하며, 인수화 구조와의 호환성은 어떻게 보장되는가?
• RQ5 $\Gamma \otimes \mathbb{G}_m$-왜곡된 애질라그라스만니안은 메타플레틱 확장을 어떻게 매개변수화하고, 이중성에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 메타플레틱 L군 이론의 매개변수 공간은 애질라그라스만니안 $\operatorname{Gr}_G$ 위의 인수화 게르베로 실현되며, 이는 메타플레틱 확장을 기하학적으로 매개변수화한다.
• 메타플레틱 기하학적 사타케 함수는 $\Gamma \otimes \mathbb{G}_m$-왜곡된 애질라그라스만니안을 통해 구성되며, 자연스러운 등가 $\operatorname{Fact}(\operatorname{Vect}^{\Gamma}_{\otimes}) \simeq \operatorname{Shv}(\operatorname{Gr}_{\Gamma \otimes \mathbb{G}_m})/_{\operatorname{Ran}}$를 가진다.
• 게르베 $\mathcal{G}$ 가 $\operatorname{Gr}_{\Gamma \otimes \mathbb{G}_m}$ 위의 군 구조에 대해 교환 가능할 경우, 왜곡된 범주 $\operatorname{Fact}(\mathcal{C})_{\mathcal{G}}$ 는 대칭 모나이드 구조를 갖는다.
• 이 구성은 $\operatorname{Shv}(\operatorname{Gr}_{\Gamma \otimes \mathbb{G}_m})/_{\operatorname{Ran}}$ 이 $\operatorname{Fact}(\mathcal{C})$ 위에 자연스러운 작용을 제공하며, 이는 콘볼루션과 점별 !-텐서곱 구조와 호환된다.
• 전역 메타플레틱 퇴화 추측은 왜곡된 층의 프레임워크에서 $\operatorname{Bun}_G$ 위에서 공식화되고 증명되며, Gaitsgory의 정리 4.5.2를 메타플레틱 맥락으로 확장한다.
• 이 프레임워크는 메타플레틱 자동형 양식을 $\operatorname{Bun}_G$ 위의 왜곡된 층으로 실현하며, 국소 점들 사이의 호환 조건은 애질라그라스만니안으로의 역상에 의해 보장된다.