[논문 리뷰] Parameters of two classes of LCD BCH codes

Shuxing Li, Chengju Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 09.

Coding theory and cryptography참고 문헌 25인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 두 종류의 LCD(선형 보완 이중성 코드) BCH 코드를 조사하며, 그 차원과 최소 거리에 초점을 맞춘다. q-순환군 코스터와 BCH 한계를 분석함으로써, 특정 매개변수 범위 내에서 정확한 차원과 최소 거리를 도출하며, 기존 문헌의 기준과 동일하거나 이를 초월하는 최적의 코드를 제공한다.

ABSTRACT

Historically, LCD cyclic codes were referred to as reversible cyclic codes, which had application in data storage. Due to a newly discovered application in cryptography, there has been renewed interest on LCD codes. In this paper, we explore two special families of LCD cyclic codes, which are both BCH codes. The dimensions and the minimum distances of these LCD BCH codes are investigated. As a byproduct, the parameters of some primitive BCH codes are also obtained.

연구 동기 및 목표

• 1 ≤ j ≤ (q-1)q^{m-1} 범위 내에서 n = q^m - 1 모듈로의 q-순환군 코스터 리더와 크기를 규명하는 것.
• 특정 설계 거리에 대해 두 종류의 LCD BCH 코드의 차원을 결정하는 것, 특히 q가 홀수일 때 δ = uq^{m-1} + 1 또는 q가 짝수일 때 δ = uq^{m-1}/2 + 1 인 경우.
• 다양한 매개변수 제약 조건, 즉 작은 δ 및 특정 m와 q 값과 함께 형태 C(q,n,2δ,n−δ+1)의 LCD BCH 코드에 대해 정확한 차원과 최소 거리를 확립하는 것.
• δ = q^λ 이고 m/2 ≤ λ ≤ m−1 인 경우에 대해 차원의 하한 및 상한을 도출하고, BCH 한계와 코스터 리더 분석을 통해 최소 거리를 규명하는 것.
• 구축된 LCD BCH 코드가 기존 데이터베이스에 기록된 최고의 선형 코드와 동일하거나 이를 초월하는 매개변수를 달성하는 경우를 식별하는 것.

제안 방법

• 저자들은 n = q^m - 1 모듈로의 q-순환군 코스터를 분석하여, 코드의 차원을 계산하는 데 필수적인 코스터 리더와 크기를 규명한다.
• BCH 한계를 사용하여 LCD BCH 코드의 최소 거리에 대한 하한을 도출한다.
• 특정 매개변수 영역, 예를 들어 q가 홀수일 때 δ = uq^{m-1} + 1 또는 q가 짝수일 때 δ = uq^{m-1}/2 + 1 인 경우, 근의 수와 순환군 코스터 구조를 직접 세어 차원을 계산한다.
• 조건이 만족될 경우(예: 3|n 또는 4|n), 정리 37을 적용하여 최소 거리의 정확한 값을 도출한다. 이 조건들은 최소 거리가 BCH 한계와 정확히 일치하도록 강제한다.
• 이론적 결과는 알려진 최고의 선형 코드 표(예: Grassl의 데이터베이스 및 [13])를 활용하여 검증되며, 구축된 코드의 최적성을 확인한다.
• LCD 코드와 반전 순환 코드 사이의 등가성을 활용하여, 생성 다항식의 자기역행성 성질을 이용해 LCD 구조를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1 ≤ j ≤ (q-1)q^{m-1} 인 경우, n = q^m - 1 모듈로의 q-순환군 코스터 리더와 크기는 무엇인가요?
• RQ2 q가 홀수일 때 δ = uq^{m-1} + 1 또는 q가 짝수일 때 δ = uq^{m-1}/2 + 1 이고 1 ≤ u ≤ q−1 인 경우, 형태 C(q,n,2δ,n−δ+1)의 LCD BCH 코드의 정확한 차원은 무엇인가요?
• RQ3 q, m 매개변수와 δ 값이 어떤 조건일 때 코드 C(q,n,2δ,n−δ+1)의 최소 거리가 정확히 2δ가 되는가요?
• RQ4 δ = q^λ 이고 m/2 ≤ λ ≤ m−1 인 경우, LCD BCH 코드의 차원과 최소 거리를 결정할 수 있으며, 어떤 범위의 상한과 하한을 설정할 수 있는가요?
• RQ5 어떤 조건에서 구축된 LCD BCH 코드가 기존 데이터베이스에 기록된 최고의 선형 코드의 매개변수와 일치하거나 이를 초월하는가요?

주요 결과

• q가 홀수이고 m ≥ 2일 때, 코드 C(q,n,4,n−1)는 매개변수 [q^m−1, q^m−2−2m, 4]를 가지며, 정확한 차원과 최소 거리를 갖는다.
• q=2이고 m≥4일 때, 코드 C(2,n,6,n−2)는 매개변수 [2^m−1, 2^m−2−2m, 6]를 가지며, 설계 거리를 달성한다.
• q^m ≡ 1 (mod 3) 이고 m≥4일 때, 코드 C(q,n,6,n−2)는 매개변수 [q^m−1, q^m−2−4m, 6]를 가지며, 차원은 q와 m에 따라 달라진다.
• q=3이고 m≥3일 때, 코드 C(3,n,8,n−3)는 차원이 q^m−2−4m이며, m가 짝수면 최소 거리 d=8, m가 홀수면 d≥8이다.
• q=3, m=3, δ=4일 때, 코드 C(3,26,8,23)는 매개변수 [26,13,8]를 가지며, 동일한 길이와 차원을 가진 최고의 삼진 선형 코드와 일치한다.
• 논문은 여러 구축된 코드가 Grassl의 데이터베이스 및 [13]에 기록된 최고의 매개변수와 일치하거나 이를 초월하므로 최적임을 확인한다.