[논문 리뷰] Parametric inference and forecasting in continuously invertible volatility models

Olivier Wintenberger, Sixiang Cai|arXiv (Cornell University)|2011. 06. 24.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 30인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Stochastic Recurrence Equations (SREs)에 대한 연속적 역행성의 새로운 프레임워크를 통해 연속적으로 역행 가능한 변동성 모형에서 M-추정량의 강한 일致성과 점근적 정규성을 확립한다. 실무에서 EGARCH(1,1) 모형에 사용되는 준우도 추정 절차에 대한 첫 번째 엄밀한 이론적 근거를 제공하며, 최소한의 모멘트 가정 하에 점근적 정규성을 위한 필요 및 충분 조건을 도출한다.

ABSTRACT

We introduce the notion of continuously invertible volatility models that relies on some Lyapunov condition and some regularity condition. We show that it is almost equivalent to the ability of the volatilities forecasting using the parametric inference approach based on the SRE given in [16]. Under very weak assumptions, we prove the strong consistency and the asymptotic normality of the parametric inference. Based on this parametric estimation, a natural strongly consistent forecast of the volatility is given. We apply successfully this approach to recover known results on univariate and multivariate GARCH type models and to the EGARCH(1,1) model. We prove the strong consistency of the forecasting as soon as the model is invertible and the asymptotic normality of the parametric inference as soon as the limiting variance exists. Finally, we give some encouraging empirical results of our approach on simulations and real data.

연구 동기 및 목표

• 비선형 변동성 모형, 특히 EGARCH(1,1)에서 실무적으로 사용되는 준우도 추정 절차에 대한 이론적 근거 부족 문제를 해결하기 위해.
• Stochastic Recurrence Equations (SREs)에 의해 구동되는 변동성 모형에 대해 컴팩트 집합에서의 연속적 역행성 개념을 도입하고 체계화하기 위해.
• 새로운 연속적 역행성 조건 하에서 M-추정량의 강한 일치성과 점근적 정규성을 증명하기 위해.
• GARCH 유형 모형에 대한 기존 결과를 복원하고, EGARCH와 같은 비대칭 및 비선형 모형으로 확장하기 위해.
• EGARCH(1,1) 모형에서 한계 분산-공분산 행렬 존재에 대한 필수 및 충분 조건을 제공하기 위해.

제안 방법

• SRE에 의해 구동되는 변동성 모형에 대해 컴팩트 파rameter 집합에서의 연속적 역행성 개념을 도입한다.
• 일致성과 점근적 정규성을 보장하기 위해 준우도 기준(Quasi-Likelihood, QLIK)을 사용하는 M-추정량 프레임워크를 적용한다.
• 관측된 데이터 $X_t$에 의해 구동되는 SRE의 수렴성을 새로운 SRE 표현식 $(h(Σ_k))_{k\leq t} = \phi_t((h(Σ_k))_{k\leq t-1}, \theta_0)$ 을 통해 확립하며, 기존의 착란에 기반한 SRE를 대체한다.
• 리아푸노프 유형 조건과 로그 모멘트 가정을 사용하여, 새로운 프레임워크 하에서 SRE의 안정성과 역행성을 보장한다.
• 함수적 중심극한정리 적용을 통해 점근적 정규성을 도출하며, 스코어 함수의 미분 가능성과 모멘트 조건에 의존한다.
• EGARCH(1,1)에서 한계 분산-공분산 행렬에 대한 명시적 조건을 유도하며, $\mathbb{E}[Z_0^4] < \infty$ 및 $\mathbb{E}[(\beta_0 - \frac{1}{2}(\gamma_0 Z_0 + \delta_0 |Z_0|))^2] < 1$ 이 존재에 필수적이고 충분함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속적으로 역행 가능한 변동성 모형에서 준우도 기반 M-추정량이 강하게 일치하고 점근적으로 정규적인가에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ2 EGARCH(1,1) 모형에서 한계 분산-공분산 행렬 존재에 대한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 실무에서 EGARCH(1,1)에 사용되는 준우도 추정 절차는 어떻게 이론적으로 정당화될 수 있는가?
• RQ4 연속적 역행성의 프레임워크는 GARCH 유형 모형에 대한 기존 결과를 복원하는 데 적용될 수 있는가?
• RQ5 비선형 변동성 모형에서 추정량의 점근적 정규성을 보장하기 위해 필요한 최소한의 모멘트 및 미분 가능성 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 연속적 역행성 조건 하에서 준우도 기준에 기반한 M-추정량은 강하게 일치하고 점근적으로 정규적이다.
• EGARCH(1,1)의 경우, 한계 분산-공분산 행렬이 존재하는 것은 $\mathbb{E}[Z_0^4] < \infty$ 및 $\mathbb{E}[(\beta_0 - \frac{1}{2}(\gamma_0 Z_0 + \delta_0 |Z_0|))^2] < 1$ 이며, 이는 필수적이고 충분한 조건이다.
• 이 논문은 Nelson (1991)에서 실무적으로 사용된 EGARCH(1,1) 추정 절차에 대해 이론적 근거가 없던 상태에서 이를 첫 번째로 엄밀하게 정당화한다.
• 이 프레임워크는 단변량 및 다변량 GARCH 모형에 대한 기존 결과를 복원하며, 이 경우 M-추정량은 고전적 QMLE와 일치한다.
• 강한 일치성은 $\mathbb{E}[\log \Lambda(\phi_t(\cdot, \theta))] < 0$ 조건과 로그 모멘트의 적분 가능성 조건 하에서 성립한다.
• 점근적 정규성 결과는 SRE의 미분 가능성과 모멘트 조건을 만족할 경우 성립하며, $\theta_0$ 가 매개변수 공간 $\Theta$ 내부에 있을 경우 한계 분산-공분산 행렬이 가역적이다.