[논문 리뷰] Parametric normal form classification for Eulerian and rotational non-resonant double Hopf singularities

Majid Gazor, Ahmad Shoghi|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 30.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 39인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 리 괄호 방법, 시간 스케일링, 블록 행렬 분석을 사용하여 비공진 조건을 만족하는 이울러리안 및 회전성 벡터장의 새로운 매개변수화된 정규형 분류를 제안한다. 주요 기여는 모든 정규화 단계에서 구조적 이울러리안 성질을 유지하면서 대칭을 보존하는 무한 수준의 정규형을 제공하며, 임의의 기호 계수를 가진 다중입력 시스템의 강력한 분기 분석 및 제어 설계를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper we provide novel results on the infinite level normal form and orbital normal form classifications of nonlinear Eulerian and rotational vector fields with two pairs of non-resonant imaginary modes. We use the method of multiple Lie brackets and its extension along with time rescaling for orbital normal form classification. Furthermore, we apply two reduction techniques. The first is to use the radical Lie ideal of rotational vector fields and its corresponding quotient Lie algebra. The second technique is to employ a Schur complement block matrix type in Gaussian elimination and analysis of block matrices. The infinite level parametric normal form classification are also presented. The latter is also viewed as a normal form result for multiple-input controlled systems with non-resonant double Hopf singularity. We also discuss nonlinear symmetry transformations associated with the nonlinear symmetry group of the simplest normal forms. Symbolic normal form transformation generators are derived for computer algebra implementation. Further, the results are efficiently implemented and verified using Maple for all three types of normal form computations up to arbitrary degree, where they can also include both small bifurcation parameters and arbitrary symbolic constant coefficients.

연구 동기 및 목표

• 비공진 이중 호프 특이점을 가진 이울러리안 및 회전성 벡터장에 대해 대칭을 보존하는 정규형 분류를 개발하기 위해.
• 기존의 절단된 고전적 정규형이 이울러리안 구조적 대칭성을 파괴하고 역학을 잘못 표현하는 한계를 해결하기 위해.
• 비공진 이중 호프 특이점을 가진 다중입력 제어 시스템에 대해 일반화된 편이를 제공하는 매개변수화된 정규형 프레임워크를 제공하기 위해.
• 작은 분기 매개변수와 기호 계수를 포함한 임의의 차수까지 정규형을 기호 기반 컴퓨터 대수 시스템에서 구현할 수 있도록 하기 위해.
• 마플 같은 컴퓨터 대수 시스템에서 사용할 수 있는 정규형 변환의 기호 생성자를 유도하기 위해.

제안 방법

• 다중 리 괄호 방법의 적용 및 궤도 및 무한 수준 정규형 분류를 위한 그 확장.
• 회전 대칭이 존재하는 상황에서 궤도 정규형 분류를 용이하게 하기 위해 시간 스케일링의 활용.
• 회전성 벡터장의 루트럴 리 아이디얼과 그 몫 리 대수의 활용을 통한 분류의 단순화.
• 정규형 계산에서 블록 행렬 분석을 위한 슈어 보조 행렬 기법과 가우스 소거법의 활용.
• 컴퓨터 대수 시스템(예: 마플)에 구현 가능한 기호 기반 정규형 변환 생성자의 유도.
• 모든 정규화 단계에서 구조적 대칭성을 유지하는 매개변수화된 정규형 프레임워크의 개발.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비공진 이중 호프 특이점을 가진 비선형 이울러리안 및 회전성 시스템의 무한 수준 정규형은 어떻게 분류할 수 있으며, 이때 구조적 대칭성이 유지되는가?
• RQ2 비공진 이중 호프 특이점을 가진 다중입력 시스템의 매개변수화된 정규형은 무엇이며, 이는 어떻게 일반화된 편이로 작용하는가?
• RQ3 정규형 분류는 실제 제어 응용에서의 작은 편향과 오차에 대해 어떻게 강건하게 유지될 수 있는가?
• RQ4 임의의 차수까지 정규형을 효율적으로 컴퓨터 대수 시스템에서 구현할 수 있도록 기반으로 삼을 수 있는 기호 변환 생성자는 무엇인가?
• RQ5 가장 단순한 정규형의 비선형 대칭 변환은 매개변수화된 정규형의 구조와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 시스템의 무한 수준 정규형은 유일하게 결정되며, 형태는 $\dot{z_i} = \sum_{j+k=0}^{2} c^i_{j,k}|z_1|^{2j}|z_2|^{2k}z_i + \sum_{k\geq 3} c^i_{0,k}|z_2|^{2k}z_i$ 를 따르며, $c^i_{j,k} = b_{j,k} + I a^i_{j,k}$ 로 표현되며, 이울러리안 구조를 유지한다.
• 계수 $b_{2,1}$ 과 $b_{1,2}$ 는 $\omega_1, \omega_2$ 및 비선형 결합 항 $a_i$ 를 포함한 시스템 매개변수의 형태로 명시적으로 유도되었으며, 주파수 비율과 대칭성 매개변수에 대한 복소 분수 함수의 형태를 띤다.
• 매개변수화된 정규형이 원래 시스템의 일반화된 편이임을 입증하여, 작은 편향에 대한 강건한 분기 분석 및 제어 설계를 가능하게 한다.
• 이 방법은 정규화 전반에 걸쳐 이울러리안 및 회전 대칭성을 성공적으로 유지하며, 절단된 고전적 정규형에서 흔히 발생하는 구조적 왜곡을 피한다.
• 기호 기반 정규형 생성자는 마플에 구현되어, 기호 계수와 작은 분기 매개변수를 모두 포함한 임의의 차수까지 정규형 계산을 가능하게 한다.
• 기호 계산을 통한 검증을 통해 제안된 프레임워크의 고차수 정규형 분석에 대한 실현 가능성과 정확성을 입증하였다.