[논문 리뷰] Parametrization of local biholomorphisms of real analytic hypersurfaces

M. S. Baouendi, Peter Ebenfelt외 1명|arXiv (Cornell University)|1997. 04. 25.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 11인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 복소수 $\mathbb{C}^N$ 내의 실해석적이고 유한히 비퇴화된 초곡면 하나에서 다른 초곡면으로 가는 국소 biholomorphism의 껍질들로 이루어진 집합이 적절한 차수의 복소 jet 군 내에 자연스럽게 실해석적 부분다양체로 통합될 수 있음을 증명한다. 핵심 결과는 이러한 초곡면들 사이의 biholomorphic 동치성 문제가 jet 군 내에서 명시적으로 계산 가능한 방정식계의 해를 구하는 것으로 귀결되며, 모든 형식적 동치 사상이 수렴함을 보여, 형식적 동치성과 해석적 동치성이 일치함을 의미한다.

ABSTRACT

Let $M$ be a real analytic hypersurface in $\bC^N$ which is finitely nondegenerate, a notion that can be viewed as a generalization of Levi nondegenerate, at $p_0\in M$. We show that if $M'$ is another such hypersurface and $p'_0\in M'$, then the set of germs at $p_0$ of biholomorphisms $H$ with $H(M)\subset M'$ and $H(p_0)=p'_0$, equipped with its natural topology, can be naturally embedded as a real analytic submanifold in the complex jet group of $\bC^N$ of the appropriate order. We also show that this submanifold is defined by equations that can be explicitly computed from defining equations of $M$ and $M'$. Thus, $(M,p_0)$ and $(M',p'_0)$ are biholomorphically equivalent if and only if this (infinite) set of equations in the complex jet group has a solution. Another result obtained in this paper is that any invertible formal map $H$ that transforms $(M,p_0)$ to $(M',p'_0)$ is convergent. As a consequence, $(M,p_0)$ and $(M',p'_0)$ are biholomorphically equivalent if and only if they are formally equivalent.

연구 동기 및 목표

• 한 실해석적 초곡면의 유한히 비퇴화된 점에서 다른 실해석적 초곡면으로 가는 국소 biholomorphism의 껍질들의 공간을 특성화하기.
• 이 biholomorphism의 공간이 적절한 복소 jet 군 내에 실해석적 부분다양체로 자연스럽게 통합될 수 있음을 보여주기.
• 두 초곡면 간의 biholomorphic 동치성을 결정하는 jet 군 내의 명시적 방정식계를 제공하기.
• 형식적 동치성이 해석적 동치성과 일치함을 증명하여, CR 기하학에서 핵심적인 질문을 해결하기.

제안 방법

• 저자들은 초곡면들에 대한 기하적 통제를 보장하기 위해 리베이 비퇴화성의 일반화인 유한 비퇴화성의 개념을 사용한다.
• 비holomorphism의 껍질 공간을 비퇴화성 유형에 따라 결정되는 차수의 복소 jet 군에 통합한다.
• 정의 방정식의 수렴성과 해석성 성질을 이용하여, 이 통합이 실해석적 부분다양체임을 보인다.
• 이 부분다양체의 정의 방정식은 원천 및 목표 초곡면의 실해석적 정의 방정식에서 명시적으로 구성된다.
• 이 방법은 유한 비퇴화성 하에서 형식적 멱급수 사상의 수렴성을 이용하며, 복소해석학과 CR 기하학의 도구를 활용한다.
• jet 군의 구조 덕분에 동치 문제를 유한차원 복소다양체 내의 방정식계의 해를 구하는 것으로 환원할 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 실해석적 초곡면 사이의 국소 biholomorphism의 껍질들의 공간은 정규적인 방식으로 매개변수화될 수 있는가?
• RQ2 이러한 biholomorphism의 집합은 jet 군 내에 자연스럽게 실해석적 부분다양체인가?
• RQ3 biholomorphic 동치 조건은 jet 군 내에서 명시적으로 계산 가능한 방정식계로 표현될 수 있는가?
• RQ4 두 초곡면 사이의 형식적 동치성이 해석적 동치성을 의미하는가?
• RQ5 유한 비퇴화성은 초곡면들 사이의 형식적 사상의 수렴성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $M$와 $M'$의 점 $p_0$ 및 $p_0'$에서의 biholomorphism의 껍질들로 이루어진 집합은 적절한 차수의 복소 jet 군 내에 실해석적 부분다양체로 통합된다.
• 이 부분다양체는 $M$과 $M'$의 정의 방정식에서 명시적으로 계산할 수 있는 방정식으로 정의된다.
• 두 초곡면이 biholomorphically equivalent임은 jet 군 내의 방정식계가 해를 갖는 것과 동치이다.
• $(M,p_0)$에서 $(M',p_0')$로 변환하는 임의의 가역 형식적 사상은 수렴하므로, 형식적 동치성과 해석적 동치성이 일치한다.
• 결과는 유한 비퇴화성 조건을 가정할 경우 성립하며, 이는 고전적 리베이 비퇴화성 조건의 일반화이다.
• 매개변수화 방법은 jet 군 자료에 기반한 완전하고 알고리즘적인 biholomorphic 동치성 기준을 제공한다.