[논문 리뷰] Parametrized higher category theory and higher algebra: Exposé I -- Elements of parametrized higher category theory

Clark Barwick, E. Dotto외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 12.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 5인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 기저 ∞-범주 $T$ 위에서 코카르티esian 피브레이션으로서 $T$-∞-범주를 모델링하여, 매개변수화된 설정에서 구조화된 함자와 반대 범주, 함자 범주와 같은 구성들을 가능하게 하는 매개변수화된 고차 범주론을 제안한다. 주요 기여는 $T$-객체의 보편적 특성, $T$-∞-범주에 대한 내부 함자, 그리고 스트레잇닝을 사용하지 않은 매개변수화된 요네다 보조정리이다.

ABSTRACT

We introduce the basic elements of the theory of parametrized $\infty$-categories and functors between them. These notions are defined as suitable fibrations of $\infty$-categories and functors between them. We give as many examples as we are able at this stage. Simple operations, such as the formation of opposites and the formation of functor $\infty$-categories, become slightly more involved in the parametrized setting, but we explain precisely how to perform these constructions. All of these constructions can be performed explicitly, without resorting to such acts of desperation as straightening. The key results of this Exposé are: (1) a universal characterization of the $T$-$\infty$-category of $T$-objects in any $\infty$-category, (2) the existence of an internal Hom for $T$-$\infty$-categories, and (3) a parametrized Yoneda lemma.

연구 동기 및 목표

• 기저 ∞-범주 $T$ 위에서 피브레이션되는 범주를 갖는 매개변수화된 고차 범주론의 기초 프레임워크를 개발하기 위해.
• 반대 범주, 부분범주, 함자 범주와 같은 고전적 구성들을 매개변수화된 설정으로 일반화하기 위해.
• 스트레잇닝에 의존하지 않고 매개변수화된 맥락에서 핵심 범주론적 연산의 명시적이고 추상적이지 않은 구성 방법을 제공하기 위해.
• $T$-객체와 $T$-∞-범주 내부의 내부 함자를 위한 보편적 성질을 확립하기 위해.
• 고전적 요네다 임bedding을 상대적 설정으로 확장하는 매개변수화된 요네다 보조정리를 증명하기 위해.

제안 방법

• 고정된 기저 ∞-범주 $T$ 위에서 코카르티esian 피브레이션 $p: Γ \to T$로 $T$-∞-범주를 모델링한다.
• 피브레이션 $C \to \cdots$ 의 단면으로서 ∞-범주 $C$ 내의 $T$-객체를 정의하고, 보편 성질을 사용하여 이를 특성화한다.
• 섬세한 사상 공간을 이용한 외부 텐서곱의 오른쪽 수반을 통해 $T$-∞-범주에 대한 내부 함자를 구성한다.
• 반대 피브레이션에 이중성 구성법을 적용하여 매개변수화된 반대를 정의하고, 코카르티esian 릴리프와의 호환성을 보장한다.
• 강한 푸시포워드를 사용하여 $T$-∞-범주의 기저 변경과 당김을 구성하고, 피브레이션 구조를 유지한다.
• 마킹된 단순형 집합과 코카르티esian 변을 사용하여, $T$-∞-범주에서 그의 $T$-∞-범주적 예비층으로의 요네다 임베딩을 완전 충실한 함자로 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ∞-범주와 군 작용을 모두 일반화하면서도 범주론적 구조를 유지하는 방식으로 $T$-∞-범주를 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 고차 범주에서 내부 함자의 적절한 매개변수화된 대응은 무엇이며, 어떻게 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 요네다 보조정리는 어떻게 매개변수화된 설정으로 확장되며, 어떤 보편 성질을 만족하는가?
• RQ4 스트레잇닝을 피하는 한에서 반대와 함자 범주와 같은 기본적인 구성은 매개변수화된 설정에서 수행할 수 있는가?
• RQ5 $T$-객체의 보편적 특성은 무엇이며, 피브레이션 구조와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 모든 ∞-범주 $C$ 내의 $T$-∞-범주적 $T$-객체는 상수 피브레이션 함자에 대한 오른쪽 수반을 통해 보편적 특성으로 기술된다.
• $T$-∞-범주에 대해 내부 함자 함자가 존재하며, 이는 $T$ 위의 공간의 ∞-범주를 중심으로 한 강화를 가능하게 하며, 섬세한 사상 공간을 통한 명시적 구성이 가능하다.
• 매개변수화된 요네다 보조정리가 성립한다: 예비층의 $T$-∞-범주로의 요네다 임베딩은 완전 충실하며, 피브레이션의 단면을 포함하는 보편 성질을 만족한다.
• 매개변수화된 설정에서 반대의 구성은 잘 정의되어 있으며, 코카르티esian 릴리프와 호환되며, 고전적 경우를 일반화한다.
• 함자 $T$-∞-범주는 강한 푸시포워드와 기저 변경 기법을 사용하여 $T$ 위의 피브레이션으로 명시적으로 구성된다.
• $T$-∞-범주에 관련된 피브레이션 $Y \to T$ 는 이중성 코카르티esian 피브레이션 ${}_{\vee}Y \to T^{\mathrm{op}}$ 를 가지며, 이는 매개변수화된 설정에서의 이중성 구성법을 가능하게 한다.