[논문 리뷰] Pareto optimal and popular house allocation with lower and upper quotas

Ágnes Cseh, Tobias Friedrich외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 08.

Game Theory and Voting Systems인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 하우스 할당 문제에서 하한 및 상한 프로젝트 할당량을 고려할 때 파레토 최적 및 인기 매칭을 연구한다. 최대 하한 할당량이 2일 때 인기 매칭을 찾는 것이 심지어 NP-난이도임을 증명하며, 최대 하한 할당량이 2일 경우 파레토 최적성과 인기성의 검증이 다항시간 내에 가능해지며, 이는 분야 내 두 개의 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

In the house allocation problem with lower and upper quotas, we are given a set of applicants and a set of projects. Each applicant has a strictly ordered preference list over the projects, while the projects are equipped with a lower and an upper quota. A feasible matching assigns the applicants to the projects in such a way that a project is either matched to no applicant or to a number of applicants between its lower and upper quota. In this model we study two classic optimality concepts: Pareto optimality and popularity. We show that finding a popular matching is hard even if the maximum lower quota is 2 and that finding a perfect Pareto optimal matching, verifying Pareto optimality, and verifying popularity are all NP-complete even if the maximum lower quota is 3. We complement the last three negative results by showing that the problems become polynomial-time solvable when the maximum lower quota is 2, thereby answering two open questions of Cechl\'arov\'a and Fleiner. Finally, we also study the parameterized complexity of all four mentioned problems.

연구 동기 및 목표

• 하한 및 상한 프로젝트 할당량이 있는 하우스 할당 문제에서 파레토 최적 및 인기 매칭을 찾는 데 필요한 복잡도를 분석하는 것.
• 제한된 하한 할당량 하에서 인기 매칭 및 파레토 최적 매칭의 다항시간 가능성을 둘러싼 열린 문제를 해결하는 것.
• 특히 최대 하한 할당량에 관해 이러한 문제들의 매개변수 복잡도를 연구하는 것.
• 높은 하한 할당량에 대해 NP-완전성을 증명하고, 하한 할당량 ≤ 2일 경우 다항시간 가능성을 입증함으로써 엄밀한 복잡도 경계를 설정하는 것.

제안 방법

• 최대 하한 할당량이 2인 인기 매칭을 찾는 데 있어 NP-난이도를 증명하기 위해 다색 클리크 문제로의 감소를 수행한다.
• 특수화된 프로젝트(색상, 정점, 간선, 더미)와 엄격한 선호 목록을 가진 지원자들을 포함한 다대일 매칭 인스턴스를 구성한다.
• 구조적 제약 조건을 강제하기 위해 더미 지원자와 더미 프로젝트를 사용한다: 모든 정점 및 색상 프로젝트가 개방되어 있고, 모든 지원자가 매칭되어야 한다.
• 관찰 2를 활용하여, 더미 지원자가 인기 매칭에서 특정 구조적 성질을 유도함을 보여준다.
• 모든 지원자의 할당 개선이 상호 보완적으로 상쇄되도록 선호 목록을 설계함으로써 인기성을 유지한다.
• 최대 하한 할당량이 2일 경우, 파레토 최적성 검증, 인기성 검증, 완전한 파레토 최적 매칭 찾기 문제가 모두 다항시간 내에 가능해짐을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최대 하한 할당량이 2일 때 인기 매칭을 찾는 것이 NP-난이도인가?
• RQ2 최대 하한 할당량이 2일 경우 파레토 최적성 검증을 다항시간 내에 수행할 수 있는가?
• RQ3 최대 하한 할당량이 2일 경우 완전한 파레토 최적 매칭을 찾는 것이 다항시간 내에 가능할 수 있는가?
• RQ4 최대 하한 할당량을 매개변수로 삼을 때 인기 매칭 및 파레토 최적 매칭 문제의 매개변수 복잡도는 어떠한가?
• RQ5 모든 정점 및 색상 프로젝트가 인기 매칭에서 반드시 개방되어야 하는 구조적 제약 조건이 존재하는가?

주요 결과

• 최대 하한 할당량이 2일지라도 인기 매칭을 찾는 것은 여전히 NP-난이도이다.
• 최대 하한 할당량이 3일 경우 파레토 최적성 검증은 NP-완전이다.
• 최대 하한 할당량이 3일 경우 인기성 검증은 NP-완전이다.
• 최대 하한 할당량이 3일 경우 완전한 파레토 최적 매칭을 찾는 것은 NP-완전이다.
• 최대 하한 할당량이 2일 경우, 파레토 최적성 검증, 인기성 검증, 완전한 파레토 최적 매칭 찾기의 세 문제 모두 다항시간 내에 가능해진다.
• 논문은 Cechl´arov´a와 Fleiner(2017)가 제기한 두 개의 열린 문제를 해결하며, 하한 할당량이 2일 경우 이러한 문제들이 다항시간 내에 해법을 구할 수 있음을 보여준다.