[논문 리뷰] Parikh Automata over Infinite Words

Shibashis Guha, Ismaël Jecker외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 01.

Formal Methods in Verification인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 무한어를 위한 Parikh 오ート마타에 도달 가능성, 안전성, B"uchi 및 co-B"uchi 수용 조건을 도입하여, 대부분의 클래스가 상호 비교 불가능한 표현력을 지닌다는 것을 증명하고, 도달 가능성 및 B"uchi 유형에 대해 공집합성의 결정 가능성을 입증한다. 반면, 모델 체킹은 결정 가능성이 있는 경우는 결정성 안전성 및 co-B"uchi Parikh 오ート마타에 한하여 성립한다. 유니버설리티, 안전성/co-B"uchi 사례에서의 비공집합성, 그리고 모든 유형 간의 게임 해결 문제에 대해서는 결정 불가능성이 입증된다.

ABSTRACT

Parikh automata extend finite automata by counters that can be tested for membership in a semilinear set, but only at the end of a run, thereby preserving many of the desirable algorithmic properties of finite automata. Here, we study the extension of the classical framework onto infinite inputs: We introduce reachability, safety, Büchi, and co-Büchi Parikh automata on infinite words and study expressiveness, closure properties, and the complexity of verification problems. We show that almost all classes of automata have pairwise incomparable expressiveness, both in the deterministic and the nondeterministic case; a result that sharply contrasts with the well-known hierarchy in the $ω$-regular setting. Furthermore, emptiness is shown decidable for Parikh automata with reachability or Büchi acceptance, but undecidable for safety and co-Büchi acceptance. Most importantly, we show decidability of model checking with specifications given by deterministic Parikh automata with safety or co-Büchi acceptance, but also undecidability for all other types of automata. Finally, solving games is undecidable for all types.

연구 동기 및 목표

• 무한어에 대해 도달 가능성, 안전성, B"uchi 및 co-B"uchi 수용 조건을 도입하여 Parikh 오ート마타를 확장하는 것.
• 이러한 새로운 유형의 오ート마타의 표현력 및 닫힘 성질을 분석하는 것.
• 공집합성, 유니버설리티, 모델 체킹과 같은 기본 문제들의 결정 경계를 규명하는 것.
• 이 확장된 프레임워크 내에서 무한어에 대한 게임 해결의 복잡도를 조사하는 것.
• 기존의 $ω$-정규 오르타마타와의 비교를 통해 표현력 계층에서의 상당한 차이점을 부각하는 것.

제안 방법

• 무한어에 대한 Parikh 오르타마타에 대해 도달 가능성, 안전성, B"uchi 및 co-B"uchi 수용 조건을 제안한다.
• 수용 조건의 두 가지 변형을 도입: 동기식(상태 및 카운터 조건이 동시에 만족됨)과 异기식(별도로 만족됨).
• 불결정성 문제를 줄이기 위해 감소 조건이 붙은 이중 카운터 기반 기계에서 결정성 Parikh 오르타마타를 구성한다.
• 유니버설 터미네이션 및 이중 카운터 기반 기계의 터미네이션 문제와 같은 결정 불가능 문제로의 축소를 통해 결정 불가능성 결과를 증명한다.
• 확장된 Parikh 이미지 및 싱크 상태를 포함한 닫힘 성질과 구성 기법을 활용하여 특정 유형에 대해 모델 체킹의 결정 가능성을 입증한다.
• 반선형 집합과 카운터 구성 상태를 활용하여 수용 조건을 정의함으로써, Parikh 오르타마타의 핵심 개념을 유지하면서 $ω$-정규 환경으로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한어에 대한 새로운 유형의 Parikh 오르타마타는 상호 비교 가능한가, 아니면 상호 비교 불가능한 계층을 이룬다면?
• RQ2 모든 수용 조건에 대해 결정성 및 비결정성 환경 모두에서 공집합성 문제가 결정 가능한가?
• RQ3 특사로 결정성 Parikh 오르타마타가 안전성 또는 co-B"uchi 수용 조건을 가질 경우, 모델 체킹 문제가 결정 가능한가?
• RQ4 이 확장된 Parikh 오르타마타 프레임워크 내에서 무한어에 대한 게임 해결의 복잡도는 무엇인가?
• RQ5 다양한 수용 유형 간에 부울 연산, 특히 부정에 대해 닫힘 성질이 유지되는가?

주요 결과

• 무한어에 대한 대부분의 Parikh 오르타마타 유형은 상호 비교 불가능한 표현력을 지닌다. 이는 $ω$-정규 오르타마타에서 잘 알려진 계층과 뚜렷하게 대비된다.
• 도달 가능성 및 B"uchi Parikh 오르타마타에 대해서는 공집합성 문제가 결정 가능하지만, 안전성 및 co-B"uchi 유형에 대해서는 결정 불가능하다.
• 모델 체킹 문제의 결정 가능성은 결정성 안전성 및 co-B"uchi Parikh 오르타마타에 대해서만 성립한다. 나머지 모든 유형에 대해서는 결정 불가능하다.
• 무한어에 대한 모든 유형의 Parikh 오르타마타에 대해 게임 해결 문제가 결정 불가능하다.
• 비결정성 B"uchi Parikh 오르타마타는 합집합 및 교집합에 대해 닫혀 있지만, 부정에 대해서는 닫혀 있지 않다.
• 도달 가능성 및 B"uchi 수용 조건의 동기식 및 이방식 변형은 비결정성 하에서는 선형적으로 등가적이지만, 결정성의 경우 등가가 아니다.