[논문 리뷰] Parikh-Equivalent Bounded Underapproximations

Pierre Ganty, Rupak Majumdar외 1명|arXiv (Cornell University)|2008. 09. 07.

Formal Methods in Verification참고 문헌 13인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 동시 소프트웨어 검증에서 기본적인 결정 불가능 문제인 문맥 자유 언어 교차의 공집합 여부를 확인하기 위한 결정 가능한 하한 근사법을 제안한다. 이는 각 문맥 자유 언어를 원래 언어의 파리크 이미지를 유지하는 유한한 부분집합으로 대체하여 구현된다. 핵심 이론적 기여는 모든 문맥 자유 언어가 동일한 파리크 이미지를 가지는 유한한 부분언어를 가진다는 구성적 증명이며, 이는 다중 스레드 프로그램과 문맥 자유 제약 조건이 있는 카운터 온두라에서의 도달 가능성 분석을 위한 실용적 하한 근사법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Many problems in the verification of concurrent software systems reduce to checking the non-emptiness of the intersection of context-free languages, an undecidable problem. We propose a decidable underapproximation, and a semi-algorithm based on the under-approximation, for this problem through bounded languages. Bounded languages are context-free subsets of regular languages of the form w ∗ 1w ∗ 2... w ∗ k for some w1,..., wk ∈ Σ ∗. Bounded languages have nice structural properties, in particular the nonemptiness of the intersection of a bounded language and a context free language is decidable. Thus, in the under-approximation, we replace each of the context free languages in the intersection by bounded subsets, and check if the intersection of these languages is non-empty. In order to provide useful results in practice, the under-approximation must preserve “many ” words from the original language (the empty language is a bounded subset, but clearly useless). Our main theoretical result is a constructive proof of the following result: for any context free language L, there is a bounded language L ′ ⊆ L which has the same Parikh (commutative) image as L. Along the way, we show an iterative construction that associates with each context free language a family of linear languages and linear substitutions that preserve the Parikh image of the context free language. We show two applications of this result: to underapproximate the reachable state space of multi-threaded procedural programs, and to under-approximate the reachable state space of counter automata with context-free constraints.

연구 동기 및 목표

• 동시 소프트웨어 검증에서 문맥 자유 언어 교차의 공집합 여부 확인 문제가 결정 불가능하므로 이를 해결하기 위해.
• 결정 가능성을 보장하면서도 핵심 언어 성질을 유지하는 실용적인 하한 근사 기법을 개발하기 위해.
• 원래 문맥 자유 언어의 파리크 이미지를 유지하는 유한 언어를 구성하기 위해.
• 다중 스레드 프로시저 프로그램과 문맥 자유 제약 조건이 있는 카운터 온두라에서 확장 가능한 도달 가능성 분석을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 교차에 포함된 각 문맥 자유 언어를 원래 언어의 파리크 이미지를 유지하는 유한 언어 L' ⊆ L로 대체하기.
• 각 문맥 자유 언어와 파리크 이미지를 유지하는 선형 언어와 선형 치환의 가족을 반복적 구성으로 연결하기.
• 유한 언어와 문맥 자유 언어의 교차 비어있음 여부가 결정 가능하므로 이를 알고리즘적 검증에 활용하기.
• 제어 흐름 경로를 유한한 시퀀스로 제한하여 다중 스레드 프로그램의 도달 가능한 상태 공간을 유한 언어 구성으로 하한 근사하기.
• 유한 언어 구성 기법을 사용하여 문맥 자유 제약 조건이 있는 카운터 온두라의 도달 가능한 구성 상태를 하한 근사하기.
• 파리크 이미지를 유지함으로써 하한 근사가 정확해지며, 원래 언어의 핵심 단어 수준 성질을 유지하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 결정 불가능한 문맥 자유 언어 교차의 공집합 여부 문제에 대해 결정 가능한 하한 근사를 구성할 수 있는가?
• RQ2 문맥 자유 언어의 유한 부분언어를 구성하여 그 파리크 이미지를 유지할 수 있는가?
• RQ3 이러한 파리크 이미지가 동일한 유한 언어를 프로그램 분석에 활용하기 위해 체계적으로 생성할 수 있는가?
• RQ4 이러한 하한 근사 기법이 복잡한 제어 및 데이터 흐름을 가진 실제 동시 시스템에 얼마나 스케일링 가능한가?
• RQ5 이 방법을 다중 스레드 프로시저 프로그램과 카운터 온두라의 도달 가능한 상태 공간을 효과적으로 하한 근사하기 위해 적용할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 구성적 증명을 통해 임의의 문맥 자유 언어 L에 대해 동일한 파리크 이미지를 가지는 유한 언어 L' ⊆ L 가 존재함을 보이며, 이는 하한 근사에서 의미적 일치를 보장한다.
• 이 방법은 주어진 문맥 자유 언어의 파리크 이미지를 유지하는 선형 언어 가족과 치환의 체계적 생성 방법을 제공한다.
• 유한 언어 구성 기법은 교차 비어있음 여부의 결정 가능성을 보장하여 알고리즘적 검증에 적합하다.
• 이 접근법은 경로 탐색을 유한한 시퀀스로 제한함으로써 다중 스레드 프로시저 프로그램의 도달 가능한 상태 공간에 대한 실용적 하한 근사를 지원한다.
• 이 기법은 문맥 자유 제약 조건이 있는 카운터 온두라에 적용 가능하여 복잡한 데이터 구조를 가진 형식 모델로의 활용도를 확장한다.
• 파리크 이미지를 유지함으로써 하한 근사는 핵심 단어 수준 성질을 유지하여 공집합과 같은 단순한 유한 부분집합보다 정밀도가 향상된다.