[논문 리뷰] Parity Decision Tree Complexity and 4-Party Communication Complexity of XOR-functions Are Polynomially Equivalent

Penghui Yao|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 09.

Complexity and Algorithms in Graphs참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 부울 함수 $f$의 파리티 决定 트리 복잡도 $\mathrm{D}_{\oplus}(f)$와 해당 XOR-함수 $F(x_1,\ldots,x_4) = f(x_1 \oplus \cdots \oplus x_4)$의 4자리 수신자 간 통신 복잡도 사이의 다항식 등가성을 확립한다. 특히 덧셈 조합론에서의 샌더스 결과, 즉 인기 있는 차이에 관한 결과를 활용하여, $\mathrm{D}_{\oplus}(f) \leq \mathcal{O}(\mathrm{CC}^{(4)}(F)^5)$임을 증명함으로써, $k \geq 4$인 경우 두 복잡도가 다항식적으로 관련되어 있음을 보이며, XOR-함수에 대한 로그-랭크 추측에 대한 핵심 단계를 해결한다.

ABSTRACT

In this note, we study the relation between the parity decision tree complexity of a boolean function $f$, denoted by $\mathrm{D}_{\oplus}(f)$, and the $k$-party number-in-hand multiparty communication complexity of the XOR functions $F(x_1,\ldots, x_k)= f(x_1\oplus\cdots\oplus x_k)$, denoted by $\mathrm{CC}^{(k)}(F)$. It is known that $\mathrm{CC}^{(k)}(F)\leq k\cdot\mathrm{D}_{\oplus}(f)$ because the players can simulate the parity decision tree that computes $f$. In this note, we show that \[\mathrm{D}_{\oplus}(f)\leq O\big(\mathrm{CC}^{(4)}(F)^5\big).\] Our main tool is a recent result from additive combinatorics due to Sanders. As $\mathrm{CC}^{(k)}(F)$ is non-decreasing as $k$ grows, the parity decision tree complexity of $f$ and the communication complexity of the corresponding $k$-argument XOR functions are polynomially equivalent whenever $k\geq 4$. Remark: After the first version of this paper was finished, we discovered that Hatami and Lovett had already discovered the same result a few years ago, without writing it up.

연구 동기 및 목표

• XOR-함수 $F(x_1,\ldots,x_k) = f(x_1 \oplus \cdots \oplus x_k)$에 대해, 파리티 결정 트리 복잡도 $\mathrm{D}_{\oplus}(f)$와 $k$-자리 통신 복잡도 $\mathrm{CC}^{(k)}(F)$ 사이의 관계를 조사한다.
• $k \geq 4$인 경우, $\mathrm{D}_{\oplus}(f)$와 $\mathrm{CC}^{(k)}(F)$가 다항식적으로 등가되는지 확인한다. 특히 XOR-함수에 대한 로그-랭크 추측의 맥락에서 이를 고려한다.
• XOR-함수의 통신 복잡도에서 알려진 상한과 추측된 다항식 등가성 사이의 격차를 메운다.
• 파리티 결정 트리 복잡도를 통한 $f$의 푸리에 희박성과 통신 복잡도 사이의 정량적 연결을 수립한다.

제안 방법

• 유도된 XOR-함수 $F(x_1,x_2,x_3,x_4) = f(x_1 + x_2 + x_3 + x_4)$의 4자리 통신 복잡도를 통해 정의된 내림차순 비내림성 측도 $M(f)$를 활용한다.
• 덧셈 조합론에서의 샌더스 결과를 적용하여, 큰 집합 $A_i \subseteq \mathbb{F}_2^n$의 합집합 $A_1 + A_2 + A_3 + A_4$에 포함된 큰 애핀 부분공간을 찾는다.
• 만약 복잡도 $c$인 4자리 프로토콜이 존재한다면, $f$가 상수인 코디멘션 $\mathcal{O}(c^4)$의 부분공간이 존재하며, 이는 $\mathrm{C}_{\oplus,\min}(f) \leq \mathcal{O}(c^4)$를 의미한다.
• 이를 푸리에 희박성에 대한 기존의 상한과 결합하여 $\mathrm{D}_{\oplus}(f) \leq \mathcal{O}(M(f)^4 \cdot \log \|\hat{f}\|_0)$를 유도하고, $M(f) \leq \mathrm{CC}^{(4)}(F)$ 및 $\log \|\hat{f}\|_0 \leq \mathrm{CC}^{(4)}(F)$를 이용해 주요 결과를 도출한다.
• $\mathrm{CC}^{(k)}(F)$가 $k$에 대해 비감소임을 이용하여, 다항식 등가성을 $k \geq 4$인 모든 경우로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 파리티 결정 트리 복잡도 $\mathrm{D}_{\oplus}(f)$는 해당 XOR-함수의 4자리 통신 복잡도 $\mathrm{CC}^{(4)}(F)$에 대해 다항식적으로 유계인가?
• RQ2 k-인자 XOR-함수의 통신 복잡도는 $k \geq 4$일 때 $f$의 파리티 결정 트리 복잡도를 특성화하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 F에 대해 저복잡도의 4자리 프로토콜이 존재하면, 이는 f에 대해 저복잡도의 파리티 결정 트리 존재를 의미하는가?
• RQ4 4자리 통신 복잡도는 $\mathrm{D}_{\oplus}(f)$에 대한 다항식 상한인가? 만약 그렇다면, 다항식의 차수는 얼마인가?

주요 결과

• 논문은 $\mathrm{D}_{\oplus}(f) \leq \mathcal{O}(\mathrm{CC}^{(4)}(F)^5)$임을 증명하여, 4자리 통신 복잡도에 대해 파리티 결정 트리 복잡도의 다항식 상한을 확립한다.
• 모든 부울 함수 $f$에 대해, 4자리 통신 복잡도 $\mathrm{CC}^{(4)}(F)$와 파리티 결정 트리 복잡도 $\mathrm{D}_{\oplus}(f)$는 다항식적으로 등가이다.
• 이 결과는 덧셈 조합론에서 샌더스 정리의 새로운 응용을 통해 큰 집합의 합집합에 포함된 큰 애핀 부분공간을 찾는 데 의존한다.
• 복잡도 측도 $M(f)$의 내림차순 비내림성 특성 덕분에, $f$를 부분공간으로 제한할 경우에도 이 상한이 유지됨을 보장한다.
• 이 상한은 XOR-함수에 대한 로그-랭크 추측이 $k \geq 4$일 때 파리티 결정 트리 복잡도에 대한 질문으로 환원됨을 시사한다.