[논문 리뷰] Parity Labeling in Signed Graphs

Mukti Acharya, Joseph Varghese Kureethara|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 14.

Graph Labeling and Dimension Problems참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 서명된 그래프에서 홀짝성 레이블링을 도입하며, 간선의 부호가 정점 레이블의 홀짝성(홀수/짝수)에 따라 결정되는 서명된 그래프를 홀짝성 서명된 그래프로 정의한다: 끝점이 같은 홀짝성을 가지면 간선은 양수이며, 그렇지 않으면 음수이다. 주요 기여는 특히 사이클, 경로, 별, 코로나 그래프와 같은 표준 서명된 그래프 중 어떤 것이 홀짝성 서명된 그래프가 될 수 있는지의 조건을 규명한 것으로, 완전한 특성화를 통해 음의 동질적 사이클이 홀짝성 서명된 그래프임과 동시에 그 순서가 짝수여야 함을 보여주었다.

ABSTRACT

Let $S=(G, σ)$ be a signed graph where $G=(V, E)$ is a graph called the underlying graph of $S$ and $σ:E(G) ightarrow \{+,~-\}$. Let $f:V(G) ightarrow \{1,2,\dots,|V(G)|\}$ such that $σ(uv)=+$ if and only if $f(u)$ and $f(v)$ are of same parity and $σ(uv)=-$ if and only if $f(u)$ and $f(v)$ are of opposite parity. Under $f$ we get a signed graph $G_f$ denoted as $S$, which is a parity signed graph. In this paper, we initiate the study of parity labeling in signed graphs and we define and find `rna' number denoted as $σ^-(S)$ for some classes of signed graphs. We also characterize some signed graphs which are parity signed graphs. Some directions for further research are also suggested.

연구 동기 및 목표

• 서명된 그래프에서 정점의 홀짝성에 기반한 새로운 레이블링 체계인 홀짝성 레이블링 연구를 시작하기 위해.
• 홀짝성 서명된 그래프에서 음의 간선 수를 측정하는 'rna' 수 σ⁻(S)를 정의하고 계산하기 위해.
• 표준 서명된 그래프(예: 사이클, 경로, 별, 코로나 등) 중 어떤 것이 홀짝성 서명된 그래프가 되는지 특성화하기 위해.
• 특히 양의 또는 음의 동질적 구성 요소의 존재와 관련된 홀짝성 서명된 그래프의 구조적 제약 조건을 탐색하기 위해.
• 열린 문제를 식별하고 향후 홀짝성 레이블링 및 서명된 그래프 이론 분야의 연구 방향을 제안하기 위해.

제안 방법

• 정점의 홀짝성이 같을 경우 σ(uv) = +, 다를 경우 σ(uv) = – 인 서명된 그래프 S = (G, σ)를 홀짝성 서명된 그래프로 정의한다.
• 정점에 정수 레이블 1에서 n까지의 이분사 함수 f: V(G) → {1, 2, ..., n}을 할당하여 간선의 부호를 홀짝성에 따라 유도한다.
• 주어진 간선 부호를 실현하는 그러한 레이블링이 존재할 경우, 서명된 그래프를 홀짝성 서명된 그래프로 특성화한다.
• 경로, 사이클, 별, 완전 그래프, 코로나 그래프(J∘K)와 같은 표준 그래프에 홀짝성 기반 레이블링을 적용한다.
• 조합론적 및 홀짝성 논증을 사용하여 서명된 그래프가 홀짝성 서명된 그래프가 되기 위한 필요 및 충분 조건을 증명한다.
• 'rna' 수 σ⁻(S)를 도입하고, 홀짝성 서명된 그래프에서 음의 간선 수로 정의하여 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 서명된 그래프가 정점 레이블의 홀짝성에 의해 간선 부호가 결정되는 홀짝성 레이블링을 가질 수 있는가?
• RQ2 어떤 그래프 클래스(예: 사이클, 경로, 별, 코로나 등)에서 음의 동질적 홀짝성 서명된 그래프가 존재하는가?
• RQ3 음의 동질적 사이클이 홀짝성 서명된 그래프가 되기 위한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ4 모든 그래프가 홀짝성 서명된 그래프를 형성하도록 레이블링될 수 있는가? 만약 그렇지 않다면, 이를 방해하는 구조적 제약 조건은 무엇인가?
• RQ5 rna' 수 σ⁻(S)와 그래프의 구조, 특히 완전 그래프와 코로나 그래프의 경우의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 순서 n ≥ 4인 음의 동질적 사이클은 n이 짝수일 때에만 홀짝성 서명된 그래프이다.
• 모든 비자명한 연결된 비트리비얼 그래프에 대해 양의 동질적 홀짝성 서명된 그래프는 존재하지 않으며, 이는 짝수 레이블을 가진 정점들이 반드시 홀수 레이블을 가진 정점과 인접해야 하기 때문이다.
• 모든 간선이 음수인 경로 P_n는 홀짝성 서명된 그래프이며, 이는 정점에 연속 정수 1에서 n까지의 레이블을 할당함으로써 달성된다.
• 코로나 그래프 C_n ∘ K_1은 n이 짝수일 때에만 음의 동질적 홀짝성 서명된 그래프이다.
• 코로나 그래프 K_n ∘ K_1은 n ≤ 2일 때에만 음의 동질적 홀짝성 서명된 그래프이다. n ≥ 3일 경우 C_3를 부분그래프로 포함하며, 이는 음의 동질적일 수 없다.
• 다른 두 개의 음의 동질적 홀짝성 서명된 그래프를 다리 간선으로 연결한 서명된 그래프 역시 홀짝성 서명된 그래프이며, 이때 다리 간선의 부호가 연결된 정점의 홀짝성과 일치해야 한다.