[논문 리뷰] Park City lectures on elliptic curves over function fields

Douglas Ulmer|arXiv (Cornell University)|2011. 01. 10.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 25인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 함수체 위에서 타원곡선에 대한 기본 결과를 제시하며, 타원면과 야코비안을 통해 버치와 스위너튼-다이 추측과 태 추측 사이의 연결 고리를 확립한다. 함수체 확장의 계열에서 무한한 모델-바일 랭크를 갖는 타원곡선의 명시적 구성법을 제시하며, 버거의 구성법과 갈루아 수축을 활용하여 d=2pf−1일 때 최소 d−1의 랭크와 p와 서로소인 모든 d에 대해 랭크 d를 달성한다.

ABSTRACT

These are the notes from a course of five lectures at the 2009 Park City Math Institute. The focus is on elliptic curves over function fields over finite fields. In the first three lectures, we explain the main classical results (mainly due to Tate) on the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture in this context and its connection to the Tate conjecture about divisors on surfaces. This is preceded by a "Lecture 0" on background material. In the remaining two lectures, we discuss more recent developments on elliptic curves of large rank and constructions of explicit points in high rank situations.

연구 동기 및 목표

• 함수체 위에서 타원곡선의 고전 이론, 특히 버치와 스위너튼-다이 추측 및 태 추측의 유사체를 수립하기 위해.
• 함수체 위에서 타원곡선의 산술적 성질을 타원면의 기하학과 표면 위의 다발의 코homology에 연결하기 위해.
• 함수체 확장의 계열에서 무한한 모델-바일 랭크를 갖는 타원곡선의 명시적 가족을 구성하기 위해.
• Kd = Fq(t1/d) 위에서 높은 랭크를 달성하는 유리점의 원시적이고 명시적인 구성법을 제공하기 위해.
• 함수체에서의 고랭크 현상이 원시적인 방법으로 접근 가능하며, 1960년대에 발견될 수도 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 유한체 위의 매끄럽고 사영적인 곡선 C에 대응하는 함수체 K = Fq(C) 이론을 활용하며, 곳점은 닫힌 점에 대응한다.
• 아벨 다양체의 호모로지즘과 네론-테이트 높이 쌍형을 이용하여 모델-바일 군 내 점들의 독립성을 분석하기 위해 타이의 정리를 적용한다.
• 버거의 구성법을 활용: 유리 함수 f와 g가 주어지면, f(x) = t g(y)는 계수가 1인 곡선을 정의하며, 그 야코비안은 타원곡선 E와 이소지크하다.
• 갈루아 수축과 μd(근의 단위근)가 곡선의 야코비안에 작용하는 방식을 이용하여, 곡선 Cd와 Dd의 야코비안 사이의 μd-불변 호모로지즘을 구성한다.
• 유한체 위의 아벨 다양체의 이소지클래스에 대한 환타-테이트 이론을 적용하여 Hom(JCd, JDd)μd의 랭크를 유계한다.
• φ ∘ Frpf를 이용한 풀백을 통해, μd-불변성을 확보하는 토퍼션 점의 풀백을 통해 E(Kd) 위의 명시적 점을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수체 위의 타원곡선의 맥락에서 버치와 스위너튼-다이 추측과 태 추측는 어떻게 상호연결되어 있는가?
• RQ2 Kd = Fq(t1/d) 위에서 타원곡선의 모델-바일 군이 d가 변화함에 따라 무한한 랭크를 갖는 데 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ3 함수체 확장 위에서 타원곡선 위에 명시적인 유리점을 구성하여 고랭크를 실현할 수 있는가?
• RQ4 갈루아 군의 작용과 야코비안 위의 μd-작용이 모델-바일 군의 구조에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 프로베누스 사상은 어떻게 μd-불변 호모로지즘을 구성하여 야코비안 사이의 고랭크를 달성하는가?

주요 결과

• p > 2일 때, K = Fp(t) 위에서 y² + xy + ty = x³ + tx²로 정의된 E에 대해, i = 0, ..., d−1에 대해 P(ζi_d t^{1/d})는 E(Kd)의 랭크 d−2의 부분군을 생성한다.
• 점들 사이의 관계는 ∑_{i=0}^{d−1} Pi와 ∑_{i=0}^{d−1} (−1)^i Pi가 토퍼션임을 확인하며, 이는 모델-바일 군 내 유한 지수를 확인한다.
• d = 2pf−1일 때, E(Fp(t^{1/d}))의 랭크는 최소 d−1이며, 이는 μd-불변 호모로지즘 (φ ∘ Frpf)*: JCd → JDd를 통해 달성된다.
• 추가로, 모든 p에 대해 Fp(t) 위에서 타원곡선 E가 존재하여, p와 서로소인 모든 d에 대해 Rank E(Fp(t^{1/d})) ≥ d임을 보였다.
• Fp(μd)(t^{1/d}) 위에서 d = pf + 1인 경우의 명시적 점 구성은 원시적이고 1960년대 접근 가능한 방식으로 무한한 랭크를 얻는다.
• 첫 번째 예제에서 곡선의 도수(conductor)는 d+2이며, 이는 라이크쳐 4의 추론 2.2.2의 랭크 공식과 일치한다.