[논문 리뷰] Partial actions and proper extensions of two-sided restriction semigroups

Kudryavtseva, Ganna|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 01.

semigroups and automata theory참고 문헌 27인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 두쪽 제한 반군 S의 적절한 확장을 포함하는 범주와 S의 특정 부분 작용 범주 사이의 범주적 동치를 수립하며, 역반군의 등급 순수 확장에 대한 O’Carroll의 결과를 일반화한다. 새로운 전형의 전형사상—예를 들어 국소적으로 강한, 곱형의 것들—을 도입하고, 적절한 확장이 부분 작용의 곱으로 분해됨을 증명하며, 이들의 구조가 유도와 반사/코반사 부분범주를 통해 완전히 기술됨을 보인다.

ABSTRACT

We prove a structure result on proper extensions of two-sided restriction semigroups in terms of partial actions, generalizing respective results for monoids and for inverse semigroups and upgrading the latter. We introduce and study several classes of partial actions of two-sided restriction semigroups that generalize partial actions of monoids and of inverse semigroups. We establish an adjunction between the category P(S) of proper extensions of a restriction semigroup S and a category A(S) of partial actions of S subject to certain conditions going back to the work of O'Carroll. In the category A(S), we specify two isomorphic subcategories, one being reflective and the other one coreflective, each of which is equivalent to the category P(S).

연구 동기 및 목표

• 역반군의 등급 순수 확장에 대한 O’Carroll의 구조 결과를 두쪽 제한 반군의 맥락으로 일반화하기.
• 모노이드와 역반군에서 알려진 개념을 확장하여 제한 반군에서 부분 작용과 전형사상의 프레임워크를 개발하기.
• 제한 반군 S의 적절한 확장의 범주와 S의 특정 부분 작용의 범주 사이의 범주적 동치를 수립하기.
• 기존의 것을 일반화하는 새로운 전형사상의 클래스—순서 유지, 강한, 국소적으로 강한, 곱형, 국소적으로 곱형—을 도입하고 연구하기.
• 기본 전형사상에 기반하여 F-사상과 FA-사상을 특성화하며, 최대 단위를 통한 적절한 확장을 포착하는 데서의 역할을 보여주기.

제안 방법

• 제한 반군 간 전형사상을 정의하고, 반군의 준군 위에서의 부분 대칭사상과 연결한다.
• Y는 준군이고 φ는 S의 부분 작용인 부분 작용 곱 $ Y \rtimes_q^\phi S $를 도입하며, 조건 (A1)–(A4)를 만족시킨다.
• 표준 사영 $ \hat{\psi} $와 $ \tilde{\psi} $를 사용하여 $ Y \rtimes_q^\phi S $가 제한 반군이자 S의 적절한 확장임을 증명한다.
• 적절한 확장 $ \psi: T \to S $로부터 두 개의 기본 전형사상 $ \hat{\psi} $와 $ \tilde{\psi} $를 구성하며, 이들 중 어느 하나를 통해 $ T \cong P(T) \rtimes S $임을 보인다.
• 적절한 확장의 범주 $ \mathcal{P}(S) $와 부분 작용의 범주 $ \mathcal{A}(S) $ 사이의 유도를 수립하며, 반사 및 코반사 부분범주를 포함한다.
• 각 섬유에 최대 원소가 존재하는 경우에 F-사상을 정의하고, 그 성질(순서 유지, 국소적으로 강한 등)이 관련된 전형사상의 성질과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제한 반군의 적절한 확장의 구조는 부분 작용을 통해 어떻게 기술될 수 있는가?
• RQ2 제한 반군의 맥락에서, 역반군과 모노이드에 대해 알려진 부분 작용 및 전형사상의 클래스는 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 제한 반군 S의 적절한 확장의 범주와 S의 부분 작용의 범주 사이의 범주적 관계는 무엇인가?
• RQ4 F-사상 또는 FA-사상이 발생하는 조건은 무엇이며, 그 성질은 기본 전형사상과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 적절한 확장 $ \psi $와 관련된 전형사상 $ \hat{\psi} $와 $ \tilde{\psi} $의 성질은 확장의 구조를 어떻게 결정하는가?

주요 결과

• 제한 반군 S의 적절한 확장의 범주 $ \mathcal{P}(S) $는 S의 부분 작용의 범주 $ \mathcal{A}(S) $와 동치이며, 반사 및 코반사 부분범주 역시 $ \mathcal{P}(S) $와 동치이다.
• 적절한 확장 $ \psi: T \to S $는 $ P(T) \rtimes S $ 형태의 부분 작용 곱으로 분해되며, 여기서 $ P(T) $는 T의 등급 원소의 준군이다. 이는 $ \hat{\psi} $ 또는 $ \tilde{\psi} $를 통해 이루어진다.
• 모노이드 S에 대해, $ \mathcal{P}(S) $와 $ \mathcal{A}(S) $는 동치이며, $ \mathcal{P}_s(S) $와 $ \mathcal{A}_s(S) $ 역시 동치이다. 이는 기존의 역반군에 대한 결과를 확장한다.
• F-사상은 각 섬유에 최대 원소가 존재하는 적절한 사상으로 정의되며, 관련된 사상 $ \tau(s) = \max \{ t \in T : \psi(t) = s \} $는 전형사상이다.
• 전형사상 $ \psi $의 성질(예: 순서 유지, 국소적으로 강한, 곱형)은 관련된 $ \hat{\psi} $와 $ \tilde{\psi} $의 성질과 동치이며, 정확한 대응 관계를 수립한다.
• F-사상의 클래스는 F-제한 모노이드를 일반화하며, FA-사상은 추가로 적절한 F-제한 모노이드를 일반화한다. S와 T가 모두 역반군일 경우 이 둘 간의 차이가 사라진다.