[논문 리뷰] Partial Automorphisms and Injective Partial Endomorphisms of a Finite Undirected Path

Ilinka Dimitrova, Vítor H. Fernandes외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 29.

semigroups and automata theory참고 문헌 34인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유한 무방향 경로 Pn(정점 수 n개)의 단사 부분 내면사상(Injective Partial Endomorphisms, IEnd(Pn)) 및 부분 자기동형사상(Partial Automorphisms, PAut(Pn))의 모노이드의 계수(rank)와 그린 관계(Green's relations)를 결정한다. 간격 유지 변환의 구조적 분석과 생성집합 최소화 기법을 통해 정확한 공식을 도출한다: n≥4일 때 rank(PAut(Pn)) = n−1이며, n≥4일 때 rank(IEnd(Pn)) = n + ⌈n/2⌉ − 2이며, 더 작은 n에 대해서는 닫힌 형태를 제공한다. 결과는 부분 사상의 분해와 역 준군( inverse semigroup ) 기법을 통해 확립된다.

ABSTRACT

In this paper, we study partial automorphisms and, more generally, injective partial endomorphisms of a finite undirected path from Semigroup Theory perspective. Our main objective is to give formulas for the ranks of the monoids $IEnd(P_n)$ and $PAut(P_n)$ of all injective partial endomorphisms and of all partial automorphisms of the undirected path $P_n$ with $n$ vertices. We also describe Green's relations of $PAut(P_n)$ and $IEnd(P_n)$ and calculate their cardinals.

연구 동기 및 목표

• 유한 무방향 경로 Pn에 대한 단사 부분 내면사상과 부분 자기동형사상의 모노이드 IEnd(Pn) 및 PAut(Pn)의 최소 생성집합(계수)을 결정하는 것.
• 간격 유지 부분 사상의 구조적 성질을 활용하여 IEnd(Pn)에 대한 그린 관계 L, R, H, J와, 역 모노이드인 PAut(Pn)에 대한 J 관계를 기술하는 것.
• IEnd(Pn) 및 PAut(Pn)의 기수(cardinalities)를 계산하여 정확한 조합적 수를 제공하는 것.
• 특히 PAut(Pn)에 속하는 원소들과 PAut(Pn)에 속하지 않는 원소들 간의 차이를 고려하여, 원소의 계수와 정의역/이미지의 구조를 분석함으로써 IEnd(Pn)에 대한 최소 생성집합을 확립하는 것.
• 경로 그래프에 대한 IEnd(Pn)의 계수를 계산하는 열린 문제를 해결함으로써, 이전의 내면사상 모노이드 연구를 확장하는 것.

제안 방법

• IEnd(Pn) 및 PAut(Pn)의 원소들을 그 정의도메인에서 최대 간격에 대해 정의된 변환으로 분해함. 간격 유지 성질을 핵심적인 구조적 제약 조건으로 사용함.
• 최대 간격에서 순서 유지 또는 순서 반전 행동을 이용하여 IEnd(Pn) 및 PAut(Pn)에 속하는지의 여부를 특성화함. 이는 경로의 선형적 구조를 활용함.
• 각 α ∈ IEnd(Pn)에 대해 이미지 재색인화를 통해 간격 구조와 인접성을 유지하는 표준 변환 β*를 정의함. 이를 통해 β* ∈ PAut(Pn)임을 증명하고, 생성집합 구성에 기여함.
• IEnd(Pn)에 대한 생성집합 B = {βi | i=2,…,n−1} ∪ {τ, α1, αn}을 구성함. 여기서 βi는 정점 i를 제거하며, τ는 반전 사상(reversal map)이며, α1, αn은 특정 부분 순열임.
• 귀납법과 합성 원리를 적용하여, 임의의 α ∈ IEnd(Pn)가 B와 PAut(Pn)의 원소들의 곱으로 표현될 수 있음을 보임. 이를 통해 IEnd(Pn) = ⟨B⟩임을 증명함.
• 하한 추론을 위해 계수 분석을 활용함: IEnd(Pn)\PAut(Pn)에서 최소 ⌈n/2⌉−1개의 생성자가 필요하고, n≥4일 때 PAut(Pn)에서 최소 n−1개의 생성자가 필요함을 보임으로써 생성집합의 최소성 확보.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 무방향 경로에 대해 n개의 정점을 가진 경로에서 단사 부분 내면사상 모노이드 IEnd(Pn)의 최소 생성집합 수(계수)는 얼마인가요?
• RQ2 유한 무방향 경로에 대해 n개의 정점을 가진 경로에서 부분 자기동형사상 모노이드 PAut(Pn)의 최소 생성집합 수(계수)는 얼마인가요?
• RQ3 IEnd(Pn)에 대해 그린 관계 L, R, H, J는 어떻게 명시적으로 기술할 수 있으며, PAut(Pn)에 대해 J 관계는 어떻게 기술할 수 있나요?
• RQ4 IEnd(Pn) 및 PAut(Pn) 모노이드의 정확한 기수는 얼마인가요?
• RQ5 IEnd(Pn)에 대해 최소 생성집합을 명시적으로 구성할 수 있으며, 이는 동형사상에 대해 유일한가요?

주요 결과

• PAut(Pn)의 계수는 n=1일 때 2, n=2일 때 2, n=3일 때 3, n≥4일 때 n−1이다.
• IEnd(Pn)의 계수는 n=1일 때 2, n=2일 때 2, n=3일 때 4, n≥4일 때 n + ⌈n/2⌉ − 2이다.
• 모노이드 IEnd(Pn)는 집합 B = {βi | i=2,…,n−1} ∪ {τ, α1, αn}에 의해 생성되며, 여기서 βi는 정점 i를 제거하고, τ는 반전 사상이며, α1, αn는 특정 부분 순열이다.
• PAut(Pn)의 기수는 n≥1일 때 2n이며, 경로의 대칭성과 간격 유지 사상에 기반한 명시적 구조를 가진다.
• IEnd(Pn)의 기수는 n≥2일 때 2n + 2∑_{j=1}^{⌊(n−1)/2⌋} (n−2j−1)이며, 간격 분해를 통해 유도된 닫힌 형태를 가진다.
• IEnd(Pn)의 그린 관계는 정의도메인과 이미지 간격에 의해 특성화된다: αLβ iff Im α = Im β, αRβ iff Dom α = Dom β, αHβ iff Dom과 Im가 모두 동일하다.