[논문 리뷰] Partial clones containing all Boolean monotone self-dual partial functions

Miguel Couceiro, Lucien Haddad외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 05.

Advanced Algebra and Logic인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 모든 단조적 자기 dual 부분 함수를 포함하는 불리안 집합 {0,1} 위의 부분 클로저의 간격이 연속체 기수를 가짐을 보여준다. 짝수 정수 k ≥ 4로 인덱싱된 부분 함수의 집합을 구성하고, 그들의 관계 보존에 의한 폐쇄를 분석함으로써, 저자들은 단조적 클로저와 자기 dual 클로저의 교차를 포함하는 서로 다른 부분 클로저가 비가чёт 가능하게 많음을 증명하며, 이는 그들의 구조적 다양성에 관한 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

The study of partial clones on $\\mathbf{2}:=\\{0,1\\}$ was initiated by R. V. Freivald. In his fundamental paper published in 1966, Freivald showed, among other things, that the set of all monotone partial functions and the set of all self-dual partial functions are both maximal partial clones on $\\mathbf{2}$. Several papers dealing with intersections of maximal partial clones on $\\mathbf{2}$ have appeared after Freivald work. It is known that there are infinitely many partial clones that contain the set of all monotone self-dual partial functions on $\\mathbf{2}$, and the problem of describing them all was posed by some authors. In this paper we show that the set of partial clones that contain all monotone self-dual partial functions is of continuum cardinality on $\\mathbf{2}$.

연구 동기 및 목표

• 모든 {0,1} 위의 단조적 자기 dual 부분 함수를 포함하는 모든 부분 클로저를 특성화하는 열린 문제를 해결하기 위해.
• 단조적 클로저와 자기 dual 클로저의 교차를 포함하는 부분 클로저의 레이스의 기수를 결정하기 위해.
• 관계 불변량을 사용하여 [pPol(≤) ∩ pPol(≠), Par(2)] 간격 내에서 비가산적인 서로 다른 부분 클로저의 집합을 구성하기 위해.
• 짝수 정수 ≥ 4의 부분집합과 일대일 대응을 설정하여, 이러한 부분 클로저의 집합이 가산이 아니고, 오히려 연속체 크기를 가짐을 보여주기 위해.

제안 방법

• Mal’tsev의 형식 및 한 점 확장을 사용하여, 모든 투영을 포함하고 합성에 대해 닫혀 있는 집합으로 부분 클로저를 정의한다.
• 관계 보존을 사용한다: 함수 f가 관계 ρ를 보존하는 것은, ρ의 열을 열로 가지는 행렬의 행에 f를 적용했을 때 결과로 나오는 튜플이 ρ에 속한다는 것을 의미한다.
• 각 n(k)-항 부분 함수 g_k를 구성하며, 그 정의역은 행렬 M_k와 그 쌍대 행렬 M̄_k의 행들의 합집합이며, g_k는 행 유형에 따라 0 또는 1을 할당한다.
• 각 짝수 k ≥ 4에 대해, g_k가 ρ^{n(k')}를 보존하는 것은 k ≠ k′일 때에만 성립하도록, 행렬의 행 구조와 열 제약 조건을 사용하여 관계 ρ^{n(k)}를 정의한다.
• 짝수 정수 ≥ 4의 부분집합과 [pPol(≤) ∩ pPol(≠), Par(2)] 내의 부분 클로저 사이의 일대일 대응을, X에 대한 보다 큰 집합의 보다 큰 집합의 pPol(ρ^{n(t)})의 교차를 통해 설정한다.
• 매핑 χ(X) = ⋂_{t ∈ E≥4∖X} pPol(ρ^{n(t)})가 단사임을 증명함으로써, 간격이 연속체 기수를 가짐을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 {0,1} 위의 단조적 자기 dual 부분 함수를 포함하는 서로 다른 부분 클로저는 몇 개인가?
• RQ2 이러한 부분 클로저의 집합은 가산인가, 비가산인가?
• RQ3 짝수 정수 ≥ 4의 부분집합과 일대일 대응되는 부분 클로저의 집합을 구성할 수 있는가?
• RQ4 단조적 클로저와 자기 dual 클로저를 포함하는 부분 클로저를 특성화하는 관계 불변량은 무엇인가?
• RQ5 비유한 집합에 속하는 t에 대해 pPol(ρ^{n(t)})의 교차는 유일한 부분 클로저를 유도하는가?

주요 결과

• 모든 {0,1} 위의 단조적 자기 dual 부분 함수를 포함하는 부분 클로저 간격은 연속체 기수를 가진다.
• 각 짝수 정수 k ≥ 4에 대해, M_k와 그 쌍대 행렬의 행들의 합집합이 정의역인 부분 함수 g_k가 구성되며, g_k는 각 부분 집합에서 일정하다.
• g_k는 ρ^{n(k')}를 보존하는 것과 k ≠ k′이 동시에 성립한다. 이는 핵심적인 분리 성질을 확립한다.
• χ(X) = ⋂_{t ∈ E≥4∖X} pPol(ρ^{n(t)})로 정의된 매핑 χ: P(E≥4) → [pPol(≤) ∩ pPol(≠), Par(2)]는 단사이다.
• P(E≥4)가 연속체 기수를 가지므로, 간격 [pPol(≤) ∩ pPol(≠), Par(2)] 역시 연속체 기수를 가진다.
• 이 구성은 모든 단조적 자기 dual 부분 함수를 포함하는 서로 다른 부분 클로저가 비가산적으로 많다는 것을 확인한다.