[논문 리뷰] Partial (Co)Actions of Multiplier Hopf Algebras: Morita and Galois Theories

Danielle Santos Azevedo, Batista, E.외 3명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 23.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비단위 대수 위에 다중화 이론 호프 대수의 부분(co)작용을 도입하여, 코불변 대수 $ R^{\text{co}A} $와 스매시 곱 $ R\#\widehat{A} $의 부분대수 사이의 모리타 맥락을 수립한다. 주요 기여는 부분 갈로아 코작용의 정의와 스매시 곱과 코불변 대수를 연결하는 사상 $ \beta $의 전사성과 모리타 맥락 사상의 전사성 간의 동치성을 증명하는 것으로, 기존의 전역 갈로아 이론을 부분적이고 비단위적인 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

In this work we deal with partial (co)action of multiplier Hopf algebras on not necessarily unital algebras. Our main goal is to construct a Morita context relating the coinvariant algebra $R^{\underline{coA}}$ with a certain subalgebra of the smash product $R\#\widehat{A}$. Besides this we present the notion of partial Galois coaction, which is closely related to this Morita context.

연구 동기 및 목표

• 단위 대수에서의 부분(co)작용 이론을 다중화 이론 호프 대수를 이용해 비단위 대수로 확장하는 것.
• 코불변 대수 $ R^{\text{co}A} $와 스매시 곱 $ R\#\widehat{A} $의 부분대수 사이의 모리타 맥락을 구성하는 것.
• 부분 갈로아 코작용을 정의하고, 이를 전역 갈로아 확장의 부분적 일반화로 연구하는 것.
• 사상 $ \beta $의 전단사성과 모리타 맥락 사상의 전사성 간의 동치관계를 확립하여 고전 갈로아 이론을 일반화하는 것.

제안 방법

• 정규 다중화 이론 호프 대수 $ A $에서 적분을 지닌, 비단위이지만 양방향 국소 단위를 지닌, 부분 $ A $-코모듈러 대수 $ (R, \rho, E) $를 도입한다.
• 스매시 곱 $ R\#\widehat{A} $와 부분대수 $ \widehat{A}\cdot R $를 정의하며, 이는 모리타 맥락에서 중심적인 역할을 한다.
• 두 선형 사상 $ [\ ,\ ]: (\widehat{A}\cdot R) \otimes_{R^{\text{co}A}} (\widehat{A}\cdot R) \to (\widehat{A}\cdot R)\#\widehat{A} $ 및 $ (\ ,\ ): (\widehat{A}\cdot R) \otimes_{R^{\text{co}A}} (\widehat{A}\cdot R) \to (\widehat{A}\cdot R)\otimes A $을 구성하여 모리타 맥락을 형성한다.
• 사상 $ \beta: (\widehat{A}\cdot R) \otimes_{R^{\text{co}A}} (\widehat{A}\cdot R) \to ((\widehat{A}\cdot R)\otimes A)E $를 $ \beta(x\otimes y) = (x\otimes 1)\rho(y) $로 정의하고, 이를 통해 부분 갈로아 코작용을 정의한다.
• 사상 $ \beta $가 전단사임과 사상 $ [\ ,\ ] $가 전사임이 동치임을 증명하며, $ ((\widehat{A}\cdot R)\otimes A)E $에서 $ (\widehat{A}\cdot R)\#\widehat{A} $로의 역사상 $ \alpha $를 이용하여 이미지에 제한된 경우를 고려한다.
• 적분의 존재성과 $ A $와 $ \widehat{A} $ 사이의 쌍대성 덕분에 사상들이 잘 정의되고 비퇴화됨을 보장하여, 모리타 이론과 갈로아 이론의 프레임워크를 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 설정에서 유한 쌍대의 제약으로 인해 비단위 대수 위에 다중화 이론 호프 대수의 부분(co)작용을 어떻게 정의할 수 있는가?
• RQ2 코불변 대수 $ R^{\text{co}A} $와 스매시 곱 $ R\#\widehat{A} $ 내부의 부분대수 $ \widehat{A}\cdot R $ 사이의 모리타 맥천의 구조는 어떠한가?
• RQ3 부분 설정에서 모리타 맥락 사상 $ [\ ,\ ] $와 $ (\ ,\ ) $가 전단사가 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 부분 갈로아 코작용의 개념은 사상 $ \beta $의 전단사성과 어떻게 관련되어 있으며, 이를 통해 전역 갈로아 이론이 어떻게 일반화되는가?
• RQ5 다중화 이론 호프 대수를 사용하여 부분적이고 비단위적인 설정에서 작용과 코작용 간의 쌍대성은 유지될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 스매시 곱 $ R\#\widehat{A} $ 내부의 코불변 대수 $ R^{\text{co}A} $와 부분대수 $ \widehat{A}\cdot R $ 사이의 모리타 맥천을 수립하였으며, 이를 통해 전역 경우를 부분적이고 비단위적인 설정으로 일반화하였다.
• 사상 $ \beta: (\widehat{A}\cdot R) \otimes_{R^{\text{co}A}} (\widehat{A}\cdot R) \to ((\widehat{A}\cdot R)\otimes A)E $를 $ \beta(x\otimes y) = (x\otimes 1)\rho(y) $로 정의하였으며, 이 사상은 구성의 핵심이며, $ [\ ,\ ] $가 전사임과 동치로 전단사임을 보였다.
• 사상 $ [\ ,\ ] $의 전사성은 오른쪽 모듈 구조의 존재와 역사상 $ \alpha $의 사용을 통해 증명되며, 이는 전사성 조건 하에서 $ [\ ,\ ] $의 단사성을 보장한다.
• 부분 갈로아 코작용은 $ \beta $가 전단사인 제한 대칭 부분 $ A $-코모듈러 대수로 정의되며, 이 조건은 $ [\ ,\ ] $의 전사성과 동치이며, 전역 갈로아 대응의 일반화이다.
• 사상 $ \beta $의 전단사성, $ [\ ,\ ] $의 전사성, $ (\ ,\ ) $의 전단사성 간의 동치관계가 확립되어, 부분 설정에서 모리타 맥천이 완전히 효과적임을 보였다.
• 정규 다중화 이론 호프 대수와 적분의 사용을 통해 쌍대성과 적분이 유지되며, 이는 $ \widehat{A} $가 또한 정규 다중화 이론 호프 대수임을 보장하여, 이 일반화된 맥락에서 갈로아 이론의 구축을 가능하게 한다.