[논문 리뷰] Partial Data Inverse Problems for Nonlinear Magnetic Schrödinger Equations

Ru-Yu Lai, Ting Zhou|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 06.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 38인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 경계의 일부에서 측정된 딜리클레-투-노이만 맵의 부분 측정값으로부터 비선형 자기장 및 전기 포텐셜의 유일한 복원을 확립한다. DN 맵의 고차수 선형화와 경계의 일부에서 0이 되는 조화 함수의 곱에 대한 조밀도 추론을 사용하여, 저자들은 $ n \geq 2 $ 차원에서 벡터 포텐셜 $ A(x,z) $와 스칼라 포텐셜 $ q(x,z) $가 부분 딜리클레-투-노이만 데이터에 의해 유일하게 결정됨을 증명한다.

ABSTRACT

We prove that the knowledge of the Dirichlet-to-Neumann map, measured on a part of the boundary of a bounded domain in $\mathbb{R}^n, n\geq2$, can uniquely determine, in a nonlinear magnetic Schrödinger equation, the vector-valued magnetic potential and the scalar electric potential, both being nonlinear in the solution.

연구 동기 및 목표

• 비선형 자기장 슈뢰딩거 방정식에 대한 역경계값 문제를 부분 경계 측정값을 통해 다루는 것.
• 경계의 부분집합에서 측정된 딜리클레-투-노이만 맵을 통해 비선형 벡터 포텐셜 $ A(x,z) $와 스칼라 포텐셜 $ q(x,z) $를 유일하게 결정하는 것.
• 완전히 비선형적인 포텐셜을 가진 비선형 자기장 슈뢰딩거 방정식에 고차수 선형화 기법을 확장하는 것.
• 조밀도 성질을 활용하여 최소한의 데이터 가정(예: 부분 경계 데이터) 하에서 유일성 결과를 확립하는 것.
• 기존 선형 및 준선형 방정식에 대한 역문제 결과를 게이지 불변성 구조를 갖는 비선형 자기장 경우로 일반화하는 것.

제안 방법

• 다중 경계 데이터 함수를 사용하여 영 해를 중심으로 한 소규모 변형을 고려함으로써 딜리클레-투-노이만 맵의 고차수 선형화를 적용한다.
• 해 변수 $ z $ 에 대한 포텐셜 $ A(x,z) $와 $ q(x,z) $ 의 해석적 의존성을 이용하여 $ z $ 에 대한 테일러 급수 전개를 수행한다.
• 해의 $ m $-번째 차수 비선형 항들인 $ A $와 $ q $ 를 포함하는 적분 항등식을 유도하며, 이는 $ m+1 $ 개의 조화 함수 또는 그 도함수의 곱과 짝을 이룬다.
• 경계의 닫힌 진부분집합에서 0이 되는 조화 함수의 곱에 대한 $ L^p $ 공간 내 조밀도 추론을 수행하며, 룬게 유형의 근사와 유일 연장 성질에 기반한다.
• 최대원리와 소규모 전파 추정치(카시와라의 워터멜론 정리에서 영감을 얻음)를 사용하여 이러한 곱의 $ L^p $ 내 조밀도를 확립한다.
• 선형화된 시스템에서 발생하는 비선형 고정점 문제를 해결하기 위해 수축사상 정리를 적용하여 $ W^{2,p} $ 내에 존재하고 정칙성을 갖는 해의 존재성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 딜리클레-투-노이만 맵의 부분 경계 측정값으로부터 비선형 자기장 포텐셜 $ A(x,z) $와 전기 포텐셜 $ q(x,z) $ 는 유일하게 복원될 수 있는가?
• RQ2 고차수 선형화 기법은 해에 대한 완전한 비선형성을 갖는 비선형 자기장 슈뢰딩거 방정식에 어떻게 확장될 수 있는가?
• RQ3 부분 데이터로부터 비선형 항들을 유일하게 결정하기 위해 필요한 조화 함수 곱의 조밀도 성질은 무엇인가?
• RQ4 자기장 $ \operatorname{curl} A $ 의 게이지 불변성이 비선형 설정에서 복원의 유일성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이 방법은 해 변수 $ z $ 에 대해 해석적임에도 불구하고 거듭제곱형이 아닌 비선형성에도 적용 가능할 수 있는가?

주요 결과

• 비선형 벡터 포텐셜 $ A(x,z) $ 와 스칼라 포텐셜 $ q(x,z) $ 는 경계의 임의의 상대적으로 열린 부분집합에서 측정된 딜리클레-투-노이만 맵에 의해 유일하게 결정된다.
• 유일성 결과는 $ n \geq 2 $ 차원에서 성립하며, 이는 이전의 선형적 결과를 완전히 비선형적인 자기장 슈뢰딩거 방정식으로 확장한다.
• 이 방법은 딜리클레-투-노이만 맵의 고차수 선형화와 경계의 일부에서 0이 되는 $ m+1 $ 개의 조화 함수 곱의 $ L^p $ 내 조밀도에 의존한다.
• 핵심적인 기술적 기여는 경계의 양측 집합에서 0이 되는 조화 함수와 그 기울기의 곱에 대한 조밀도 증명이다.
• 비선형 딜리클레 문제의 해는 존재하며 $ W^{2,p} $ 에 속하며, 경계 데이터 노름에 대해 선형적으로 의존하는 유계성을 갖는다.
• 전체 경계 데이터의 경우는 특수한 경우로 볼 수 있으며, 이 경우에도 동일한 추론을 통해 유일성이 도출된다.